La linea di Simson - 1

In questa prima pagina sulla linea di Simson daremo la dimostrazione della sua esistenza esplorando poi alcune sue proprietà prevalentemente con gli strumenti della geometria dinamica.

Teorema diretto

Riprendiamo la figura 1 utilizzata come base per definire cosa intendere con i termini punto e triangolo pedale e aggiungiamo il cerchio circoscritto a ABC. Il punto P inoltre potrà essere esterno al triangolo e quindi i piedi delle perpendicolari condotte da P potranno intersecare i prolungamenti dei lati.

figura 1

Osserviamo con attenzione cosa accade muovendo il punto P: quando questo passa sul cerchio circoscritto e quindi, a parte nei vertici, è esterno a ABC, il triangolo pedale degenera in un segmento. Questa osservazione suggerisce evidentemente una proprietà generale che intendiamo dimostrare ossia esiste il

Teorema
I punti, intersezioni delle perpendicolari condotte da un punto qualsiasi appartenente alla circonferenza circoscritta con i lati (o relativi prolungamenti) di un triangolo, sono collineari.

Dimostrazione. Riferiamoci alla figura 2 e consideriamo, senza perdita di generalità, P appartenente all'arco AC non contenente B del cerchio circoscritto.

figura 2

Innanzitutto, ricordato che angoli opposti di quadrilateri inscritti in un cerchio sono supplementari, si ha per ABCP:

APC = 180° - B.

Tracciato poi il segmento PB e osservato che gli angoli PC1B e PA1B sono retti, PB è di conseguenza un diametro del cerchio circoscritto a C1BA1 e P appartiene alla circonferenza di quest'ultimo. Siccome una tale osservazione verrà in seguito ripetuta più volte, diremo che i punti P, C1, B e A1 sono conciclici. Per lo stesso motivo P appartiene ai cerchi circoscritti ai triangoli AB1C1 e A1CB1 (nella figura 2, si selezioni per far apparire le altre circonferenze).

figura 3

Pertanto, essendo il quadrilatero PC1BA1 inscritto in un cerchio (fig. 3) vale la congruenza

B = 180° - C1PA1

per cui, dalla precedente discende

APC = 180° - B = 180° - (180° - C1PA1) = C1PA1

Sottraendo da entrambi i membri APA1 si ottiene

APC - APA1 = C1PA1 - APA1

che, in base alla fig. 4, comporta

figura 4

A1PC = APC1. (1)

Analogamente il quadrilatero A1CPB1 è inscritto in un cerchio (fig. 5) per cui

figura 5

A1PC = A1B1C (2)

essendo angoli che insistono sul medesimo arco. Infine pure A, B1, P e C1 sono conciclici (fig. 6) e di conseguenza

figura 6

APC1 = AB1C1. (3)

Sostituendo la (2) a primo membro della (1) e la (3) a secondo, si giunge alla

A1B1C = AB1C1

per cui questi angoli devono essere opposti al vertice B1, essendo A, B1 e C allineati per ipotesi. Ne discende, come cercato, l'allineamento dei punti A1, B1 e C1.

Teorema inverso

Si può comunque dimostrare anche l'inverso del teorema precedente ossia che

Teorema inverso
Se i piedi delle perpendicolari condotte ai lati (o ai loro prolungamenti) di un triangolo da un punto sono collineari, allora il punto deve appartenere alla circonferenza circoscritta al triangolo.

Collegato P con C ed essendo retti per ipotesi gli angoli PB1C e PA1C, i punti P, B1, A1, C sono conciclici (fig. 7) per cui

figura 7

PCA1 + PB1A1 = 180°

Dato l'allineamento di A1, B1 e C1, sono pure supplementari gli angoli PB1A1 e PB1C1

PB1A1 + PB1C1 = 180°.

Sottraendo una dall'altra le ultime due relazioni discende che

PCA1 = PB1C1.

Anche i punti P, B1, A e C1 sono conciclici (fig. 8) e ciò permette di individuare la congruenza tra i due angoli alla circonferenza

figura 8

PAC1 = PB1C1.

Per la transitività, dalle ultime due congruenze discende

PCA1 = PAC1

oppure, sostituendo ad A1, B

PCB = PAC1
= 180° - PAB

PCB è quindi supplementare a PAB ossia i punti P, A, B e C sono i vertici di un quadrilatero inscritto in un cerchio: in altre parole P appartiene alla circonferenza circoscritta a ABC c.v.d.
In definitiva possiamo riunire i due teoremi nell'unico

Teorema di Simson
I piedi delle perpendicolari condotte da un punto ai lati di un triangolo (o ai loro prolungamenti) sono collineari se e solo se il punto appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo.

La linea contenente i piedi delle perpendicolari viene detta, erroneamente, linea di Simson (Robert Simson 1687-1768, matematico scozzese) del punto rispetto al triangolo (fig. 9) anche se il merito della scoperta, avvenuta nel 1797, va attribuito a William Wallace.

figura 9

Nella lista degli strumenti associati alla figura 9 si è aggiunto lo strumento Animazione di un punto in modo da poter muovere automaticamente il punto P Per ottenere quindi un'animazione simile a quella riportata sotto,

Per fermare o riavviare l'animazione è poi sufficiente un clic del mouse sopra la figura.

figura 10

Problemi coinvolgenti la linea di Simson

Problema 5.1. L'altezza BB1 di ABC interseca la circonferenza circoscritta nel punto P. Dimostrare che la linea di Simson di P per ABC è parallela alla retta tangente in B al cerchio circoscritto.

Dimostrazione. Prolunghiamo l'altezza BB1 di ABC fino ad incontrare, in P, la circonferenza circoscritta (fig. 11). Sia inoltre D un punto qualsiasi della retta tangente in B al cerchio circoscritto appartenente al semipiano definito da BC non contenente il centro del cerchio circoscritto (selezionare per osservare la perpendicolarità di BD con il raggio per B).

figura 11

Poiché PC1BA e PA1BC, i punti A1, B1 e C1 appartengono alla linea di Simson di P rispetto ABC. Tracciato PC, i vertici del quadrilatero P, B1, A1 e C sono conciclici (in un cerchio di diametro PC) per cui possiamo ritenere

B1A1C = 180° - B1PC,

in quanto angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Ne segue che l'angolo supplementare a B1A1C risulta congruente a B1PC ossia

B1A1B = B1PC

che diventa

B1A1B = BPC

una volta che si sia sostituito B1 con B. (Se A1 risultasse appartenente al prolungamento di BC sarebbe B1A1C = B1PC e quanto segue coinvolgerebbe B1A1C).
Essendo per ipotesi DB tangente, allora l'angolo DBC è congruente con BPC

DBC = BPC,

e per la proprietà transitiva, discende

DBC = B1A1B

che evidentemente dimostra la tesi in quanto gli angoli sopra appaiono essere alterni interni di due rette tagliate dalla trasversale BC. Poiché sono congruenti, le due rette sono parallele (c.v.d.).

Problema 5.2. Le tangenti nei punti B e C di una circonferenza si intersecano nel punto A formando un ABC isoscele. Se P è un punto qualsiasi della circonferenza e A1B1C1 è il triangolo pedale di ABC costruito a partire da P, dimostrare che

(PA1)2 = PB1 x PC1

Dimostrazione. Colleghiamo P con B e C e, similmente, A1 con B1 e C1 (fig. 12). I quadrilateri PB1CA1 e PA1BC1 sono costituiti evidentemente da punti conciclici appartenenti rispettivamente, ai cerchi di diametro PC (c1) e PB (c2).

figura 12

Come angoli che insistono sul medesimo arco di c1 risulta

PB1A1 = PCA1 = PCB

ed essendo PBC1 l'angolo formato dalla corda e dalla tangente in B al cerchio dato, è anche

PB1A1 = PCA1 = PCB = PBC1.

Ancora, gli angoli PBC1 e PA1C1 insistono sul medesimo arco di c2, per cui in definitiva

PB1A1 = PA1C1.

In modo del tutto analogo si giustifica la catena di congruenze

PA1B1 = PCB1 = PBC = PBA1 = PC1A1,

cosicché sussiste la similitudine PB1A1PA1C1. Ne segue la proporzione

PA1
PC1
= PB1
PA1

da cui la tesi

(PA1)2 = PB1 x PC1.

Problema 5.3. Determinare la posizione di un P sulla circonferenza circoscritta ad un triangolo, in corrispondenza della quale la linea di Simson coincide con un lato.
Soluzione

Digressione

La linea di Simson di un triangolo possiede diverse proprietà interessanti e in questa sezione intendiamo mostrarne qualcuna senza fornire una dimostrazione formale. Utilizzeremo invece alcune caratteristiche tipiche dei software di geometria dinamica, qual è appunto Z.u.L..

Tra gli strumenti della figura sottostante è stato aggiunto quello che permette di visualizzare il luogo di certi punti quando si faccia variare un altro punto della costruzione vincolato a muoversi su una retta o su una circonferenza . Lo stesso strumento, nel caso si indichi in alternativa al punto una retta, fornisce la curva alla quale le rette indicate risultano tangenti, al variare ancora di un punto vincolato su una retta o su una circonferenza. In quest'ultimo caso la curva ottenuta si dice la curva inviluppo delle rette indicate.

figura 13

Intendiamo quindi ottenere l'inviluppo delle linee di Simson al variare del punto P sulla circonferenza circoscritta. Per ottenere ciò è sufficiente

La figura seguente mostra il risultato: l'inviluppo di tutte le linee di Simson di un triangolo è una curva detta deltoide, dotata di tre cuspidi (un clic sulla figura, avvia / ferma l'animazione). Uno studio più approfondito potrebbe mostrare che la forma di tale curva è indipendente da ABC ma solo dal raggio del cerchio circoscritto. I suoi vertici formano inoltre un triangolo equilatero.

figura 14

Una seconda osservazione apre interessanti prospettive: riprendendo la figura 1 oramai sappiamo che il triangolo pedale di P degenera in un segmento compreso nella linea di Simson quando P appartiene al cerchio circoscritto. In questa situazione, evidentemente degenere, consideriamo i punti medi dei "lati del triangolo", A1B1, B1C1 e C1A1, rispettivamente R, S e T (fig. 15).

figura 15

Di questi tre punti intendiamo visualizzare il luogo di appartenenza. Quindi

Si ottengono tre ellissi, ciascuna rappresentativa del luogo del corrispondente punto preventivamente selezionato (un doppio clic ferma l'animazione, un altro clic la riavvia). Ci si può ora chiedere se, almeno una delle tre, può diventare una circonferenza. La risposta appare evidente modificando il triangolo (e visualizzando il centro del cerchio circoscritto)... Qual è il suo raggio in tal caso?

Infine si potrebbe pensare di eliminare il ruolo privilegiato del punto P e quindi considerare quattro punti conciclici. A rotazione, tre di questi costituirebbero i vertici del triangolo ed il quarto assumerebbe il ruolo di punto pedale. In tal modo si possono costruire quattro triangoli, ciascuno con la propria linea di Simson. Problema: sussiste qualche legame tra queste quattro linee di Simson?
La risposta è compresa nella costruzione seguente dove appaiono solo gli elementi di partenza (i quattro punti A, B, C e D sul cerchio circoscritto) e il risultato finale, le quattro linee di Simson dei quattro triangoli costruibili sulla base di tali punti. Per osservare individualmente i triangoli, il punto pedale e la rispettiva linea di Simson in modo da controllare la costruzione e poterla interpretare correttamente, si attivi innanzitutto la visualizzazione degli elementi nascosti e quindi, va selezionato lo strumento colore che mostra ciclicamente solo un colore alla volta.

figura 16

Muovendo a turno uno dei quattro punti appare evidente che le linee di Simson possiedono una notevole proprietà: hanno tutte un punto comune (in figura, Z). Se poi si visualizza il luogo dei punti Z (con lo strumento ) appare un'altra sorpresa: questo punto appartiene ad una circonferenza! La "scoperta" diventa ancora più interessante se riconosciamo nel cerchio (utilizzare ciclicamente ) una vecchia conoscenza... Per la dimostrazione si veda più avanti.