A1AB = PAB = A1B1P in quanto angoli che insistono sul medesimo arco BA1 (fig. 1).Inizialmente forniamo alcuni teoremi già noti che caratterizzano le relazioni esistenti tra rette e circonferenze (e relativi inversi) per poi introdurre il concetto di potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Applichiamo quindi questo concetto al caso di due circonferenze per giungere infine alla definizione di asse radicale e alla sua costruzione.
Riprendiamo alcuni teoremi che dovrebbero essere già noti dallo studio della geometria elementare: questi discendono immediatamente dai criteri di similitudine dei triangoli e trattano delle relazioni che intercorrono tra i segmenti individuati da due rette secanti una circonferenza (o una secante e l'altra tangente).
La dimostrazione risulta immediata notata la congruenza degli angoli A1AB = PAB = A1B1P in quanto angoli che insistono sul medesimo arco BA1 (fig. 1).
figura 1
Poiché BPA = B1PA1 in quanto opposti al vertice, risulta 
ABP
A1B1P e quindi vale la proporzione
| PA PB1 |
= | PB PA1 |
che dimostra la tesi. Per quanto diremo in seguito, l'ultima relazione conviene scriverla nella forma alternativa
| PA x PA1= PB x PB1 |
Il precedente teorema si può estendere senza difficoltà anche nel caso che il punto di intersezione delle due rette secanti sia esterno al cerchio. Difatti
Pure la dimostrazione di questo ampliamento del teorema precedente procede dall'osservazione della congruenza di A1AB1 = A1BB1 e quindi della similitudine esistente tra AB1PBA1P (fig. 2).
figura 2
La proporzione cui si giunge è la medesima
| PA PB1 |
= | PB PA1 |
e ciò permette quindi di mantenere valida la relazione sopra, indipendentemente dalla posizione di P rispetto alla circonferenza.
Infine, supponiamo che una delle due secanti sia invece tangente alla circonferenza. Sussiste in tal caso il seguente
Costruita la retta tangente alla circonferenza, in questo caso va riconosciuta la congruenza tra gli angoli TAA1 = PTA1, dove PTA1 risulta essere l'angolo formato dalla corda TA1 e dalla tangente nell'estremo T (fig. 3).
figura 3
L'angolo P è comune ai due triangoli ATP e TA1P cosicché questi sono simili. Ne segue la validità del rapporto
| PA PT |
= | PT PA1 |
ossia
| PA x PA1 = PT x PT = PT2 |
I teoremi appena esposti possiedono degli inversi che si mostrano utili nello stabilire se quattro punti (è il caso dei primi due) siano o meno conciclici. Dimostriamo innanzitutto
Dimostrazione. Sia P il punto di intersezione dei segmenti AB e CD: l'ipotesi si può sintetizzare nella proporzione
| AP PC |
= | PD PB |
Procedendo per assurdo, costruiamo la circonferenza passante per i punti A, B e C e supponiamo che l'estremo D non appartenga a tale circonferenza e, per esempio, sia interno ad essa (fig. 4).
figura 4
Di conseguenza deve esistere un punto E, distinto da D, intersezione tra la semiretta CP e la circonferenza. Ora i quattro punti A, B, C, E appartengono alla medesima circonferenza e quindi, l'applicazione del teorema precedente assicura la validità della proporzione
| AP PC |
= | PE PB |
Dal confronto con l'ipotesi e per la proprietà transitiva segue che
| PD PB |
= | PE PB |
dalla quale discende PD = PE e quindi D deve coincidere con E contro l'ipotesi iniziale. Nella figura seguente si sono invece costruiti i punti C ed E in modo da mantenere il rapporto AP/PC uguale a PD/PB così da evidenziare la ciclicità dei quattro punti.
figura 5
Nel caso che i due segmenti non si intersechino ma che, comunque, esista un punto di intersezione tra le due rette cui appartengono, l'appartenenza ad una circonferenza dei loro estremi è ancora garantita. Difatti in base al seguente teorema inverso
| PB PD |
= | PC PA |
La proporzione
| PB PD |
= | PC PA |
mette in relazione due coppie di lati omologhi dei triangoli PBC e PAD (nella fig. 6 i punti C e D sono stati costruiti rispettando il rapporto r = PB/PD).
figura 6
Poiché BPC è comune ad entrambi i triangoli, per il secondo criterio di similitudine risulta PBCPAD. Allora è pure PBC = ADP per cui, detta E l'intersezione di BC con AD e osservato che AEB = CED in quanto opposti al vertice, è anche ABEDCE per il primo criterio. In particolare possiamo impostare la proporzione
| EB ED |
= | EA EC |
In base al precedente teorema inverso possiamo infine concludere che i quattro punti A, B, C e D sono conciclici.
Quanto esposto nella sezione precedente fornisce lo spunto per una interessante caratterizzazione di un punto qualsiasi rispetto ad una circonferenza. Difatti se, in ognuna delle tre situazioni analizzate sopra, pensiamo fissato il punto P mentre consideriamo variabili le rette secanti AP e/o BP (figg. 1 e 2) o la sola retta AP nel caso della tangente (fig. 3), i teoremi precedenti affermano che i prodotti
PA x PA1 = PB x PB1 = PT2 = costante
non debbano variare. Il loro valore comune dev'essere pertanto una proprietà dipendente solo dal punto P.
Per rendersi maggiormente conto di tale importante fatto, riferiamoci alla figura 7. In questa figura abbiamo riassunto le precedenti tre aggiungendo il calcolo esplicito dei prodotti PA x PA1, PB x PB1 e di PT2 (utilizzando lo strumento Espressione aritmetica 
si sono inserite le tre espressioni d(P,A)*d(P,A1), d(P,B)*d(P,B1) e d(P,T)*d(P,T)).
figura 7
Ora, tenendo fisso P, si muovano i punti A o B verificando che i prodotti PA x PA1 e PB x PB1 non variano: variano invece quando si trascina P. Finché P è esterno alla circonferenza questi sono uguali pure a PT2, termine che evidentemente è costante (finché non si muova P). Quando P è interno, l'uguaglianza PA x PA1 = PB x PB1 si mantiene ancora valida.
Vediamo di caratterizzare maggiormente questo valore cercando di esplicitare la sua dipendenza da P. A tal fine sia R il raggio del cerchio e d la distanza tra il punto P e il centro O del cerchio. P sia interno al cerchio e quindi d < R. Data la costanza del prodotto possiamo considerare la seconda secante passante per il centro del cerchio cosicché BB1 diventa un diametro (fig. 8a). Allora
PA x PA1 = PB x PB1 = (R + d)·(R - d) = R2 - d2,
essendo, in tal caso, PB = R + d e PB1 = R - d.
Nel caso che P sia esterno al cerchio d > R (fig. 8b) è
PA x PA1 = PB x PB1 = (d + R)·(d - R) = d2 - R2,
È evidente che se P appartiene alla circonferenza d = R e il prodotto PA x PA1 si annulla (d'altra parte non può che essere così visto che o PA = 0 oppure PA1 = 0). Lo si può verificare dalla figura 7, avvicinando P alla circonferenza e notando che tale prodotto si annulla quando P appartiene ad essa: in tutti gli altri casi sembra sia necessario distinguere quando P sia interno o esterno al cerchio.
Se però introduciamo la convenzione che orienta i segmenti delle secanti in modo tale che le misure dei segmenti PA e PA1 debbano considerarsi di ugual segno nel caso in cui il verso che porta da P al secondo estremo sia il medesimo, di segno negativo in caso contrario, allora diviene possibile una ulteriore generalizzazione. Difatti, chiarito che intenderemo la misura di PA come opposta in segno a quella di PA1, come per esempio nel caso della figura 8a, in quanto il verso da P all'altro estremo dei due segmenti risulta opposto, si potrà in tutta generalità porre
| PA x PA1 = d2 - R2 |
In tal modo possiamo dare la seguente
e, per quanto dimostrato sopra, la potenza risulta chiaramente positiva se P è esterno al cerchio, negativa se interno (PA1 = - A1P), nulla se appartenente alla circonferenza.
Come ultima osservazione, esplicitiamo il significato geometrico della potenza di un punto. Se il punto P è esterno alla circonferenza questo risulta immediato (fig. 9a): difatti, poiché PA x PA1 = PT2 essendo T il punto in cui la retta tangente tocca la circonferenza, la potenza si può interpretare come uguale all'area del quadrato costruito sul segmento tangente condotta dal punto P alla circonferenza. Allo stesso significato si giunge se consideriamo che OTP è rettangolo e che PO = d e OT = R cosicché per il teorema di Pitagora, PT2 = d2 - R2.
Con P interno al cerchio possiamo riconoscere il significato della potenza tracciando la corda SS1 per P perpendicolare al diametro cui appartiene il segmento PO (fig. 9b). Essendo la potenza PA x PA1 = d2 - R2 < 0 mentre, per il teorema di Pitagora applicato a OPS è PS2 = R2 - d2, possiamo riconoscere che la potenza è uguale all'opposto dell'area del quadrato il cui lato è la metà della corda di cui P è il punto medio.
Dimostriamo il teorema dovuto ad Eulero, che permette di determinare la potenza dell'incentro rispetto al cerchio circoscritto ad un triangolo. Siano O e I rispettivamente il circocentro e l'incentro di un triangolo ABC avente R come raggio del cerchio circoscritto e r raggio del cerchio inscritto. Posta la distanza tra circocentro e incentro d = OI, dimostriamo il seguente
| d2 = R2 - 2·r·R |
Dimostrazione. Nella figura 10 appaiono tracciate le bisettrici AI e BI, rispettivamente di A e B mentre il punto E lo si è ottenuto come intersezione di AI con la circonferenza circoscritta. Poiché BAE = EAC (AE è bisettrice di A), sono congruenti pure gli archi BE e EC a seguito del teorema che associa angoli alla circonferenza congruenti ad archi congruenti. Il punto E pertanto è il punto medio dell'arco BC. Da E si è poi tracciato il diametro EF = 2R che risulta EF
BC per la ragione appena detta.
figura 10
Innanzitutto, essendo angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco valgono le congruenze
| BAE |
= | BFE |
= | 1 2 |
A |
EBC |
= | EAC |
= | 1 2 |
A |
Inoltre, BIE è l'angolo esterno a ABI per cui
| BIE |
= | IAB + IBA |
= | 1 2 |
A |
+ | 1 2 |
B |
dove si è tenuto presente che BI biseca B. Poiché
| EBI |
= | EBC + CBI |
= | 1 2 |
A |
+ | 1 2 |
B |
ne discende che EBI risulta isoscele per cui EB = EI. Considerando la retta AE come una retta secante possiamo applicare il teorema presentato nella precedente sezione, si può scrivere
IE x IA = d2 - R2
Considerando IA > 0 allora IE = - EI < 0 per cui sostituendo e moltiplicando per -1 è anche
EI x IA = EB x IA = R2 - d2,
dove si è tenuto conto della relazione sopra EB = EI.
Sia ora H il piede della perpendicolare ad AC condotta da I. Evidentemente AHI = 90° e IH = r è il raggio della circonferenza inscritta. Pertanto IH è il cateto di un triangolo rettangolo opposto all'angolo 1/2A nello stesso modo in cui EB lo è in EBF. Ne segue che i rapporti con le rispettive ipotenuse esprimono il seno dell'angolo. Potendo poi scrivere identicamente
| EB x IA | = | EF· | EB / EF IH / IA |
·IH |
si giunge con qualche calcolo alla
| EB x IA | = | EF· | EB / EF IH / IA |
·IH | = | EF· | sen(1/2A) sen(1/2 A) |
·IH | = | EF x IH | = | 2·R·r |
che, unita all'espressione originaria, fornisce
2R·r = R2 - d2,
da cui facilmente, la tesi.
d2 = R2 - 2·r·R
Tale formula viene comunemente individuata come la formula di Eulero per la distanza incentro-circocentro.
Da questa discende immediatamente che la potenza dell'incentro I rispetto al cerchio circoscritto è pari a d2 - R2 = - 2·r·R.
L'espressione d2- R2 della potenza che, per brevità indicheremo con
permette inoltre alcune interessanti considerazioni circa i suoi valori estremi o la sua costanza.
Difatti ci si può chiedere quale sia il suo valore minimo pmin, considerato R costante. La risposta, immediata, non può che essere
pmin = - R2
in quanto d raggiunge il minimo quando si annulla. Ne segue pure che l'unico punto dotato di tale potenza non può che essere il centro del cerchio.
Un altro quesito che ci si può porre consiste nell'individuare il luogo dei punti aventi una potenza p assegnata. In tal caso dev'essere (R è costante)
| d2 = p + R2 = costante |
dalla quale, osservato che p + R2 >= 0, discende che tali luoghi di punti sono caratterizzati da una distanza costante dal centro della circonferenza data, ossia i luoghi cercati non possono che essere delle circonferenze concentriche con questa. In particolare se p = 0 è d = R e la circonferenza coincide con la data. Riassumendo, il luogo dei punti avente un'uguale potenza rispetto ad un cerchio di raggio R è:
| 1. | il centro della circonferenza data se p = - R2; | |
| 2. | una circonferenza coincidente con la data se p = 0; | |
| 3. | una circonferenza esterna alla data se p > 0 (e in tal caso p può assumere qualsiasi valore positivo); | |
| 4. | una circonferenza interna alla data se p < 0 con pmin = - R2. |
Infine, ripresa la relazione che definisce la distanza incentro-circocentro, dovendo essere d2 >= 0 discende pure d2 = R2 - 2·r·R >= 0 dalla quale
R·(R - 2r) >= 0 cioè R >= 2r.
Possiamo quindi affermare che il raggio della circonferenza circoscritta dev'essere almeno il doppio del raggio della circonferenza inscritta.
Consideriamo due circonferenze di centri O e O1 e raggi, rispettivamente, R e R1 con R > R1. Ci proponiamo di determinare il luogo L dei punti P che hanno uguale potenza rispetto ai due cerchi dati.
Supponiamo sia P un punto di tale luogo (P
L) e siano p e p1 le potenze rispetto ai due cerchi. Deve sussistere quindi la relazione p = p1 che esplicitata in base alla definizione data precedentemente si può riscrivere
PO2 - R2 = (PO1)2 - (R1)2.
Da questa si ha poi
PO2 - (PO1)2 = R2 - (R1)2.
Essendo il secondo membro una costante, il problema si sposta nel trovare il luogo dei punti tale che la differenza PO2 - (PO1)2 sia costante, ossia
PO2 - (PO1)2 = costante.
Riferendoci alla figura 11 seguiamo inizialmente lo stesso metodo esposto per dimostrare il teorema di Stewart ossia applichiamo il teorema di Carnot ai triangoli POM e PMO1 con M punto medio di OO1.
figura 11
Risulta
| PO2 = OM2 + PM2 - 2·OM·PM·cosPMO |
(PO1)2 = (MO1)2 + PM2 - 2·MO1·PM·cosPMO1 |
e poiché OM = MO1 e PMO = 180° - PMO1 si ottiene
cosPMO = cos(180° - PMO1) = - cosPMO1
e possiamo scrivere
| PO2 = OM2 + PM2 + 2·OM·PM·cosPMO1 |
(PO1)2 = OM2 + PM2 - 2·OM·PM·cosPMO1. |
Sottraendo la seconda dalla prima si giunge alla
PO2 - (PO1)2 = 4·OM·PM·cosPMO1 = 2·OO1·MH
avendo tenuto presente che 2·OM = OO1 e che PM·cosPMO1 = MH, con H piede dell'altezza condotta da P a OO1.
Ripresa l'espressione iniziale e sostituendo il risultato appena trovato (che del resto, costituisce un teorema a sé stante) deduciamo
PO2 - (PO1)2 = 2·OO1·MH = R2 - (R1)2.
Esplicitando MH otteniamo che la proiezione H dei punti P soddisfa all'uguaglianza (ovviamente se OO1 è diverso da 0)
|
e ciò equivale ad affermare che MH = costante dato che raggi e centri dei cerchi sono considerati fissi. Questo fatto ci permette di risolvere il problema iniziale e individuare il luogo L richiesto: per assicurare la costanza della proiezione del segmento PM su OO1, i punti P non possono che appartenere ad una retta perpendicolare alla retta dei centri OO1.
Se le circonferenze sono concentriche OO1 = 0 e la relazione perde di significato, mentre nel caso in cui i due cerchi abbiano lo stesso raggio R = R1, la stessa implica MH = 0. La retta L deve pertanto coincidere con l'asse del segmento OO1: è per questo motivo che il luogo L viene detto asse radicale e si può porre la seguente
In questa sezione deduciamo alcune proprietà dell'asse radicale in modo da caratterizzarlo maggiormente e poterlo quindi costruire tutte le volte che esso esiste.
Proprietà 1. Supponiamo che le due circonferenze siano secanti (fig. 12) nei punti A e B. Questi punti hanno entrambi potenza nulla e pertanto, essendo due punti di egual potenza, sono sufficienti per individuare l'asse radicale.
figura 12
Nella figura 12 abbiamo aggiunto il calcolo esplicito della potenza (pari a PC2 e PD2 quando P risulta esterno ai cerchi) così da permettere al variare di P una verifica diretta dell'uguaglianza. Pertanto, se le circonferenze sono secanti, il loro asse radicale è la comune retta secante.
Proprietà 2. Se le circonferenze sono tangenti, il loro asse radicale è la tangente comune nel punto di contatto T (fig. 13).
figura 13
Infatti tale retta risulta perpendicolare alla retta dei centri e passa per il punto T che, appartenendo alle due circonferenze, ha potenza nulla (come gli altri punti dell'asse radicale) rispetto ad entrambe.
Proprietà 3. Inoltre, per quanto detto circa il significato geometrico di potenza, segue che i segmenti di tangente compresi tra il punto P e i punti di contatto (in fig. 12, PC e PD), sono congruenti.
Proprietà 4. Gli assi radicali di tre circonferenze i cui centri non siano allineati, concorrono in un medesimo punto che si dice centro radicale delle tre circonferenze (fig. 14).
figura 14
La dimostrazione utilizza la proprietà transitiva dell'uguaglianza.
Difatti se r12 rappresenta l'asse radicale delle circonferenze di centro C1 e C2 e r23 l'asse radicale di C2 e C3, queste due rette si incontrano nel punto comune O. Siano p1, p2 e p3 le potenze di questo punto rispetto ai tre cerchi. Poiché Or12 è p1 = p2. Essendo pure Or23 vale anche p2 = p3 cosicché, appunto per la proprietà transitiva dell'uguaglianza, è anche p1 = p3 ossia Or13 c.v.d.
Nel caso che due circonferenze siano secanti o tangenti, la costruzione dell'asse radicale per quanto detto, è immediata. Nel caso invece le due circonferenze non abbiano punti in comune e non siano concentriche, la costruzione sfrutta la proprietà 4 appena dimostrata (fig. 15).
figura 15
Difatti si suppongano date due circonferenze di centri C1 e C2 non intersecantesi: si costruisca una circonferenza di centro C3 non allineato con C1 e C2, tale da intersecare le due circonferenze date. È ora possibile costruire gli assi radicali r13 e r23, rispettivamente delle coppie di circonferenze di centri C1 e C3, C2 e C3. Questi assi radicali si intersecano in un punto P che, per la proprietà 4, è il centro radicale delle tre circonferenze e quindi punto appartenente pure a r12. Non resta che tracciare la perpendicolare alla retta C1C2 per P per costruire l'asse radicale r12 cercato.
Problema 4.1. Siano PA e PB le lunghezze dei segmenti tangenti condotti da P a due cerchi concentrici con A appartenente al minore. Detta C l'intersezione di PA con la circonferenza del maggiore dei cerchi, dimostrare che PA2 - PB2 = AC2.
Dimostrazione. Sia O il centro comune dei due cerchi. Data la tangenza di PA e PB (fig. 16) è PAO = PBO = 90°
figura 16
Applicando il teorema di Pitagora ai due PAO e PBO risulta
| PA2 + AO2 = OP2, | PB2 + BO2 = OP2, |
dalle quali discende
PA2 + AO2 = PB2 + BO2
ossia
PA2 - PB2 = BO2 - AO2
D'altra parte risulta BO = OC con CAO rettangolo per cui
PA2 - PB2 = OC2 - AO2 = AC2
come volevasi dimostrare.
Costruzione 4.2. Costruire le tangenti comuni a due circonferenze una esterna all'altra.
Costruzione
Problema 4.2. Due cerchi, uno esterno all'altro, possiedono quattro tangenti comuni. Dimostrare che i punti medi dei quattro segmenti tangenti sono collineari.
Dimostrazione
Problema 4.3. Due cerchi sono tangenti internamente nel punto T mentre una corda AB del cerchio di raggio maggiore è tangente nel punto C all'altro cerchio. Dimostrare che TC biseca l'angolo ATB.
Dimostrazione
|
||||||||||
