Dispense di Matematica

Propongo alcune dispense che trattano di vari argomenti attinenti alla Matematica svolta nei licei scientifici o che da questi prendono spunto per qualche approfondimento.

Insiemi funzioni e trasformazioni

Questa dispensa inizia dai fondamenti della teoria ingenua degli insiemi e affronta quindi il concetto di funzione con le principali proprietà fino ad applicarlo alle più semplici trasformazioni di simmetria del piano. Il livello della trattazione è adeguato ad una classe terza di liceo scientifico almeno per i primi due capitoli: per il terzo capitolo, soprattutto nello svolgimento degli esercizi, è necessario disporre della conoscenza delle coniche nella loro rappresentazione cartesiana canonica.

  • Capitolo 1
    • Concetto di insieme
    • L'algebra degli insiemi
    • Coppie ordinate e prodotto cartesiano
  • Capitolo 2
    • Concetto di relazione
    • Proprietà delle relazioni
    • Concetto di funzione
    • Classificazione delle funzioni
    • Funzione inversa
    • Funzione composta
    • Funzione monotòne
    • Intervalli
  • Capitolo 3
    • Generalità sulle trasformazioni lineari
    • Una simmetria assiale particolare
    • Altre simmetrie assiali
    • Simmetrie centrali
    • Traslazioni
    • La funzione omografica
    • Esercizi vari

La dispensa è di 47 pagine e contiene 68 esercizi.

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Vettori: teoria ed esercizi

Questa dispensa intende trattare, da un punto di vista elementare, le nozioni di base che si incontrano nell'algebra dei vettori. La trattazione richiede di disporre solo di alcune conoscenze intuitive sui sistemi cartesiani e, per il suo carattere introduttivo, non fa uso di nozioni di goniometria. Dovrebbe pertanto essere comprensibile a studenti di una classe terza di liceo scientifico. Il punti affrontati sono:

  • Nozione di vettore
  • Segmenti orientati e vettori
  • Somma e differenza di vettori
  • Esempi ed esercizi
  • Moltiplicazione scalare-vettore
  • Scomposizione di un vettore
  • Componenti cartesiane di un vettore
  • Prodotto scalare
  • Proprietà
  • Conseguenze ed esercizi
  • Prodotto vettoriale
  • Proprietà

In appendice si forniscono dei cenni alle matrici e ai determinanti.
L'intera dispensa è di 40 pagine e contiene numerosi esempi svolti e la proposta di 64 esercizi.

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Funzioni inverse delle goniometriche e disequazioni

La dispensa tratta delle funzioni inverse delle goniometriche, arcsen x, arccos x, arctg x e delle equazioni e disequazioni goniometriche elementari. Si discutono poi le funzioni lineari in seno e coseno allo scopo di riconoscerne i parametri più significativi ed ottenerne il grafico. Analogo percorso viene seguito per le funzioni omogenee goniometriche di II grado. Come conseguenza dello studio di tali funzioni si trattano alcuni metodi risolutivi delle disequazioni lineari ed omogenee.

  • Capitolo 1
    • Funzioni inverse delle goniometriche
    • Equazioni goniometriche elementari
    • Disequazioni goniometriche elementari
  • Capitolo 2
    • Funzioni lineari in seno e coseno
    • Funzioni omogenee di secondo grado
  • Capitolo 3
    • Equazioni e disequazioni omogenee
    • Metodi alternativi
    • Tavola riassuntiva dei metodi discussi

La dispensa è di 25 pagine e non contiene esercizi.

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Funzioni esponenziali e logaritmiche

Questa dispensa nasce dall'esigenza di affrontare in modo sufficientemente completo le funzioni esponenziale e logaritmica. Poiché l'esperienza scolastica suggerisce che le nozioni collegate a queste funzioni si riducono spesso alla sola memorizzazione delle regole formali dei logaritmi si è quindi voluto porre l'accento sulla costruzione della funzione esponenziale e sulla deduzione delle relative proprietà. L'obiettivo è quello di favorire un approccio che faccia riferimento alle proprietà non solo per la loro validità formale ma soprattutto per il legame che intercorre con la funzione. Le proprietà non sono pertanto considerate per se stesse ma in quanto sono espressioni delle caratteristiche delle funzioni studiate.

Per tali motivi gli argomenti presentati richiedono una conoscenza preventiva del concetto di funzione e quindi delle definizioni di dominio e codominio, delle definizioni di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca e delle diverse classificazioni relative alla monotònia. È pure importante disporre del concetto di funzione inversa nonché del significato di trasformazione di simmetria, in particolare della simmetria assiale relativa alla bisettrice del I e III quadrante. Nozioni eventualmente svolte nei corsi del biennio, sul concetto di numero reale sono utili ma non fondamentali in quanto questi aspetti, pur basilari per una formalizzazione adeguata, vengono lasciati a livello intuitivo anche nel presente lavoro.

La presente versione integra ed estende l'edizione del maggio 2004. In particolare si sono aggiunte due nuove sezioni (Grafici vari e funzioni deducibili e Logaritmi a base variabile), ampliata la sezione riguardante le funzioni potenza e radice ed aggiunti alcuni esempi ed esercizi.

  • Capitolo 1
    • Potenze con esponente intero
    • Dimostrazioni delle proprietà
    • Potenza con esponente razionale
    • Alcune proprietà riguardanti le diseguaglianze
    • Potenze con esponente irrazionale
  • Capitolo 2
    • La funzione esponenziale
    • Rappresentazione grafica di ax
    • La funzione logaritmica
    • Proprietà dei logaritmi
    • Calcolo di logaritmi
    • Importanza di ax e lgax
    • Grafici vari e funzioni deducibili
    • Esempi ed esercizi
    • Funzioni potenza e radice
    • Logaritmi a base variabile
  • Capitolo 3
    • Equazioni esponenziali
    • Disequazioni esponenziali
    • Equazioni e disequazioni logaritmiche
    • Esercizi di vario tipo
  • Appendice
    • Formulario

La dispensa è di 80 pagine e contiene diversi esempi ed esercizi.

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Limiti e casi di indeterminazione

Dispensa in formato PDF con la soluzione guidata di 48 casi di indeterminazione di limiti. Può essere utile ad allievi del quarto o quinto anno di liceo scientifico che trattano questi argomenti di Analisi e non abbiano ancora affrontato il teorema di De L'Hôpital.

In particolare si risolvono:

  • limiti di funzioni razionali fratte,
  • limiti di funzioni irrazionali,
  • limiti indeterminati di funzioni goniometriche,
  • limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche.

La dispensa è di 24 pagine e contiene solo esercizi svolti.

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Sintesi sulle principali distribuzioni discrete

Forniamo alcune pagine (14 in tutto) strutturate in forma di presentazione che sintetizzano le proprietà delle principali distribuzioni discrete di probabilità. Sono comprese la distribuzione binomiale, geometrica, binomiale negativa (o di Pascal) e la distribuzione di Poisson.

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