Iperbole: costruzione n. 4

La costruzione qui proposta (fig. 3.10) parte dalla conoscenza delle lunghezze dei due semiassi. Sia quindi a la lunghezza del semiasse focale o trasverso e b quella dell'asse ad esso perpendicolare. Entrambi i valori saranno rappresentati nella costruzione da due slider. Pertanto,

  • definiti gli slider a e b variabili nell'intervallo [0,10],
  • tracciamo due rette c e d mutuamente perpendicolari nel punto A.
  • Quindi, con lo strumento Circonferenza-dati centro e raggio, tracciamo una circonferenza e di centro A e raggio a
  • ed una seconda f con lo stesso centro e raggio b.
  • Definito un punto E sulla prima circonferenza,
  • sia g la semiretta di origine A per E
  • e F l'intersezione di questa con la seconda circonferenza.
  • Disegniamo quindi le rette tangenti h e i alle due circonferenze, rispettivamente nei punti E ed F.
  • Le retta h incontra la retta c in H mentre
  • la retta i interseca c nel punto I.
  • Tracciata la perpendicolare j a c per H,
  • con lo strumento Compasso disegniamo la circonferenza di centro H e raggio pari alla lunghezza del segmento FI.
  • I punti J e K di intersezione di quest'ultima circonferenza con la retta j sono i punti dell'iperbole cercata: per una prima conferma visiva è sufficiente chiedere la visualizzazione con
  • lo strumento Luogo per J e K al variare di E sulla circonferenza e.

Figura 3.10. iperbole10.ggb.

Deduzione dell'equazione canonica e rappresentazione parametrica

La costruzione sopra permette di giungere facilmente all'equazione canonica dell'iperbole ma soprattutto ad una sua rappresentazione parametrica.

Figura 3.11. iperbole11.ggb.

Difatti, sulla base della similitudine dei triangoli rettangoli \(\triangle AIF\sim\triangle AHE\) (fig. 3.11), possiamo scrivere la proporzione \begin{equation}{AI\over AF}={AH\over AE}\quad\Rightarrow\quad {AI\over b}={AH\over a}\end{equation} essendo \(AE=a\) e \(AF=b\). Ne deriva che \begin{equation}AI={b\over a}AH.\label{eq:2}\end{equation} D'altra parte il teorema di Pitagora applicato a \(\triangle AIF\) fornisce pure \begin{equation}AI^2=AF^2+FI^2=b^2+FI^2\label{eq:3}\end{equation} per cui inserendo la \eqref{eq:2} in quest'ultima, abbiamo \begin{equation}\biggl({b\over a}AH\biggr)^{\kern-2pt 2}\!=b^2+FI^2.\label{eq:4}\end{equation} Se ora associamo alle originarie rette perpendicolari, c e d, gli assi di un sistema cartesiano di origine \(A\) (fig. 3.11), risulta che l'ascissa dei punti \(K\) e \(J\) è \(AH=x\) mentre il valore assoluto delle rispettive ordinate è rappresentato dalle lunghezze dei segmenti \(HK=HJ=\bigl|\,y\,\bigr|\). Poiché per costruzione \(HK=FI\) è pure \(FI=\bigl|\,y\,\bigr|\) e l'equazione \eqref{eq:4} diviene \begin{equation}\biggl({b\over a}x\biggr)^{\kern-2pt 2}\!=b^2+y^2.\end{equation} Svolto il quadrato e diviso per \(b^2\) ne deriva l'equazione canonica \begin{equation}\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=1.}\end{equation}

Per dedurre una rappresentazione parametrica dell'iperbole introduciamo l'angolo \(\alpha=\angle\,DAE\) (fig. 3.12) che, affinché la costruzione abbia significato, deve soddisfare alla condizione \(\alpha\not=\bigl\{\pm{\pi\over 2}\bigr\}\).

Figura 3.12. iperbole12.ggb.

Poiché \begin{equation}{FI\over AF}=\tan\alpha\end{equation} dato che \(\triangle AIF\) è retto in \(F\) e, come detto \(FI=y\), risulta \begin{equation}{y\over b}=\tan\alpha\quad\Rightarrow\quad y=b\tan\alpha.\end{equation} Per l'ascissa \(x=AH\) osserviamo che in \(\triangle AHE\) \begin{equation}{AE\over AH}=\cos\alpha\end{equation} per cui \begin{equation}{a\over AH}= \cos\alpha\quad\Rightarrow\quad AH=x={a\over\cos\alpha}.\end{equation} Se infine ricordiamo la definizione di secante, \(\sec\alpha=1\,/\cos\alpha\), la rappresentazione parametrica cui siamo giunti si può riassumere nelle equazioni \begin{equation}\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{\cases{x={a\over\cos\alpha}=a\sec\alpha\cr \cr y=b\tan\alpha.\cr}}\end{equation} Nella figura 3.13 che segue abbiamo riportato la coppia di equazioni parametriche utilizzando il comando Curva[]: in particolare il comando inserito dalla barra Curva[a sec(α), b tan(α),α,-π/2,π/2]. Abbiamo inoltre aggiunto, sempre dalla barra di inserimento \begin{equation}\hbox{gli asintoti}\ \ y=\pm{b\over a}x,\qquad \hbox{le rette}\ \ y=\pm\, b,\ x=\pm\, a,\qquad\hbox{i vertici}\ \ V(\pm\, a,0),\qquad \hbox{e i fuochi}\ \ F(\pm\sqrt{a^2+b^2},0)\end{equation} grandezze tutte dipendenti dalle lunghezze dei semiassi \(a\) e \(b\) rappresentati dai corrispondenti slider.

Figura 3.13. iperbole13.ggb.