Parte 2: sezione 1

1.1 Impacchettamento di cerchi (Circle Packing)

L'impacchettamento di cerchi è un argomento matematico abbastanza recente introdotto a metà degli anni Ottanta del secolo scorso da William Thurston e consiste nello studio delle diverse configurazioni che assumono i cerchi quando si pongano adeguate condizioni sulla loro mutua tangenza. Questo argomento permette di approfondire non solo diversi aspetti classici di carattere geometrico ma pure apre a profonde connessioni con importanti aspetti della matematica quali l'analisi complessa e le superfici di Riemann. Il suo lato sperimentale, affiancato dall'uso del computer, permette di ottenere immagini esteticamente apprezzabili, immagini che possono incuriosire lo studente e avvicinarlo allo studio dei numeri complessi e alle trasformazioni che si possono definire in questo campo nonché a comprendere i meccanismi della fillotassi ossia come le diverse entità botaniche assumano nella loro crescita particolari organizzazioni di forme geometriche.

Nelle sezioni seguenti, e a partire dall'applicazione dell'inversione circolare a specifiche disposizioni di cerchi sviluppiamo un percorso che, con osservazioni geometriche elementari, intende introdurre alcune interessanti trasformazioni interpretabili anche sul piano complesso e che producono particolari impacchettamenti di cerchi studiati alla fine degli anni Ottanta dal matematico Peter Doyle e ora noti come le spirali di Doyle.

1.2 Esempi di inversione

Sfruttando la relazione che lega centro e raggio della circonferenza origine \(\Gamma_1\colon\, x^2+y^2+ax+by+c=0\) \[ C(\alpha,\beta)\equiv C\biggl(-{a\over 2},-{b\over 2}\biggr), \qquad R^2={1\over 4}(a^2+b^2)-c,\tag{2.1}\label{eq:2.1} \] con centro e raggio dell'immagine (prima parte, tangenze-01.html) \[ C'\biggl({r^2\alpha \over \alpha^2+\beta^2-R^2},{r^2\beta\over \alpha^2+\beta^2-R^2}\biggr)\qquad R'={r^2 R\over |\alpha^2+\beta^2-R^2|}\tag{2.2}\label{eq:2.2} \] è relativamente facile utilizzare le capacità grafiche di un personal computer per ottenere le immagini degli esempi riportati nelle precedenti figure 2.1 e 2.2. Applicando quindi l'inversione \(I(O,1)\) all'impacchettamento quadrato ed esagonale (\(O\) è riportato con un punto nelle due figure), otteniamo le immagini di figura 2.3.

La configurazione di sinistra di figura 2.2 mostra invece di essere invariante nella forma a seguito dell'inversione \(I(O,1)\) nel caso in cui \(O\) coincida con il centro di simmetria (fig. 2.4 sx) mentre se questi punti non coincidono la configurazione cui si giunge appare sostanzialmente diversa (fig. 2.4 dx).

Il percorso che sviluppiamo in questa seconda parte inizia esplorando le ulteriori peculiarità della disposizione di figura 2.2 (sx) che, evidentemente, rappresenta un impacchettamento costituito da catene di circonferenze (o cerchi) appartenenti a corone circolari concentriche. Poiché ritroveremo in più occasioni questa configurazione la indicheremo brevemente come l'impacchettamento a catene concentriche: nella prossima sezione, ne studiamo la semplice geometria.

Parte 2: sezione 2

2.1 Catene concentriche di cerchi

In questa sezione con osservazioni geometriche elementari determiniamo la relazione che intercorre tra due distinte catene concentriche e contigue di figura 2.2 (sx) o della sua inversa 2.4 (sx). Con riferimento alla figura 2.5 sia \(\alpha\) l'angolo compreso tra la tangente \(OD\) comune a due circonferenze della prima catena, la più esterna, e la tangente comune \(OB\) nella seconda catena più interna. Se la catena è composta da \(i_m\) circonferenze, allora è \(i_{m}(2\alpha)=2\pi\) da cui \(\alpha=\pi/i_m\) con \(i_m≥3\).

Inoltre \(OC_1=R_1\) è il raggio della circonferenza cui appartengono i centri della prima catena e \(OC_2=R_2\) l'analogo per la seconda. Essendo i triangoli \(ODC_1\) e \(C_2BO\) rettangoli in \(D\) e \(B\), segue che \[ r_1=OC_1\sin(\alpha)=R_1\sin(\alpha)\qquad\hbox{e}\qquad r_2=OC_2\sin(\alpha)=R_2\sin(\alpha)\tag{2.3}\label{eq:2.3} \] dove \(r_1\) e \(r_2\) sono i raggi delle circonferenze della prima e della seconda catena. Non ci resta che applicare il teorema del coseno al triangolo \(OC_2C_1\) (o di Pitagora \(\triangle\,C_2DC_1\)) \[ (OC_1)^2+(OC_2)^2-2\, OC_1\cdot OC_2\cos(\alpha)=(C_1C_2)^2. \] Da questa segue la relazione \[ R_1^2+R_2^2-2R_1R_2\cos(\alpha)=\bigl[R_1\sin(\alpha)+R_2\sin(\alpha)\bigr]^2 \] che costituisce un'equazione reciproca di secondo grado nell'incognita \(R_2\) \[ R_2^2-2R_2 R_1\bigl[\sec(\alpha)+\tan^2(\alpha)\bigr]+R_1^2=0.\tag{2.4}\label{eq:2.4} \] Riportiamo le sue soluzioni come \[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ R_2=f\cdot R_1\qquad\hbox{e}\qquad R_2={1\over f}R_1\tag{2.5}\label{eq:2.5} } \] con il fattore \(f\) dato dall'espressione \[ f=\sec(\alpha)\Bigl\{1+\tan(\alpha)\Bigl[\sin(\alpha)-\sqrt{1+2\cos(\alpha)}\Bigr]\Bigr\}.\tag{2.6}\label{eq:2.6} \] Supposto \(f≤1\) e procedendo verso l'interno, la catena di ordine 3 avrà quindi i centri disposti su una circonferenza di raggio \(R_3=fR_2≤R_2\) ma per la precedente possiamo pure riscriverlo in termini del raggio iniziale \(R_1\), come \(R_3=f\cdot f\,R_1=f^2 R_1\). Otteniamo quindi una relazione evidentemente ricorsiva cosicché, in generale, per la corona di indice \(n\) l'equazione caratteristica sarà \[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ R_n=R_1f^{n-1}\tag{2.7}\label{eq:2.7} } \] mentre i raggi delle singole circonferenze generalizzano le espressioni \eqref{eq:2.3} \[ r_n=R_n\sin(\alpha)=R_1f^{n-1}\sin(\alpha).\tag{2.8}\label{eq:2.8} \] Avendo poi scelto di rappresentare questa configurazione con i centri \(C_1(R_1\cos(\alpha),R_1\sin(\alpha))\) e \(C_2(R_2,0)\) (fig. 2.5), i centri \(C_n\) della circonferenza di ordine \(n\) hanno coordinate \[ \eqalign{C_n\Bigl(R_n\cos\bigl(2\alpha\,i\bigr),\,R_n\sin\bigl(2\alpha\,i\bigr)\Bigr)&\equiv C_n\Bigl(R_1f^{n-1}\cos\bigl(2\alpha\,i\bigr),\,R_1f^{n-1}\sin\bigl(2\alpha\,i\bigr)\Bigr),&\quad n\,\hbox{pari}\cr C_n\Bigl(R_n\cos\bigl(2\alpha\,i+\alpha\bigr),\,R_n\sin\bigl(2\alpha\,i+\alpha\bigr)\Bigr)&\equiv C_n\Bigl(R_1f^{n-1}\cos\bigl(2\alpha\,i+\alpha\bigr),\,R_1f^{n-1}\sin\bigl(2\alpha\,i+\alpha\bigr)\Bigr),&\quad n\,\hbox{dispari}\cr} \tag{2.9}\label{eq:2.9} \] dove l'indice \(n\) individua, appunto, la catena (\(n=1\) per la più esterna, \(n_{max}\) per la più interna) mentre l'indice \(i\) con valori \(i=1,2,\dots,i_m\) è associato alle circonferenze di ciascuna catena che, come detto inizialmente, ne comprende un numero intero uguale a \(i_m=\pi/\alpha\).
In aggiunta alla sua invarianza nell'inversione, questa configurazione possiede un'ulteriore interessante proprietà in quanto le distanze dei centri dal centro \(O\) di simmetria seguono, secondo la \eqref{eq:2.7} un andamento esponenziale. Se poi rappresentiamo i centri corrispondenti ad uno stesso indice \(i\) e al variare di \(n\) appare chiaramente un loro andamento a spirale (fig. 2.6)

L'equazione che comprende i centri della figura 2.6 discende trasformando l'indice discreto \(n\) presente nelle coordinate dei centri \eqref{eq:2.9} nella variabile continua \(t\). Ne discendono le equazioni della forma parametrica \[ \cases{\eqalign{x&=R_1f^{t-1}\cos\bigl[(2-t)\alpha\bigr],\cr y&=R_1f^{t-1}\sin\bigl[(2-t)\alpha\bigr]\cr}} \tag{2.10}\label{eq:2.10} \] per cui, introdotto un sistema di coordinate polari \((r,\theta)\) con \(\theta=(2-t)\alpha\) e origine in \(O\), otteniamo la forma \[ \cases{\eqalign{x&=R_1f^{1-(\theta/\alpha)}\cos(\theta),\cr y&=R_1f^{1-(\theta/\alpha)}\sin(\theta).\cr}} \tag{2.11}\label{eq:2.11} \] che sintetizziamo nell'unica equazione polare \[ r=R_1 f^{1-(\theta/\alpha)} \tag{2.12}\label{eq:2.12} \] rappresentativa di una spirale logaritmica. L'angolo costante \(\beta\) che un raggio vettore uscente dall'origine fa con la tangente nel suo punto di intersezione con la spirale è una nota proprietà di questa curva ed è dato in coordinate polari, dal rapporto tra la \eqref{eq:2.12} e la sua derivata \(r'\). Poiché \(r'=-R_1f^{1-(\theta/\alpha)}\log(f)/\alpha\) per cui otteniamo l'espressione \[ \beta=\arctan\Bigl({r\over r'}\Bigr)=\arctan\biggl[-{\alpha\over \log(f)}\biggr] \] e nel caso sia \(\alpha=\pi/16\) con \(f<1\) rappresentato dalla \eqref{eq:2.6} assume il valore \(\beta\approx 29.84^\circ\) (fig. 2.7).

Poiché le soluzioni dell'equazione \eqref{eq:2.4} sono due e una reciproca dell'altra \eqref{eq:2.5}, all'insieme di spirali logaritmiche generato da \(f\) corrisponde un secondo insieme collegato alla soluzione reciproca \(1/f\). Nella figura 2.8 proponiamo due esempi dove sono rappresentate entrambe le famiglie di spirali.

2.2 Una importante osservazione

Riprendiamo ancora una volta la disposizione di catene concentriche soffermandoci su una qualsiasi circonferenza di una catena e sulle sei ad essa tangenti esternamente (fig. 2.9). Una tale disposizione nell'ambito dello studio sull'impacchettamento di cerchi viene spesso indicata come un "fiore esagonale" formato, evidentemente, da una circonferenza al centro contornata da una catena di sei petali ad essa tangenti e ciascuno tangente ai due adiacenti. Questo "fiore" comprende, nel nostro caso particolare, le circonferenze di tre catene per cui se \(r_k\) è il raggio delle due circonferenze appartenenti alla corona più esterna allora \(r_{k+1}\) e \(r_{k+2}\) sono, rispettivamente, i raggi delle tre circonferenze intermedie e delle due più interne (fig. 2.9).

Siccome i raggi delle circonferenze comprese nelle tre catene sono noti ed espressi dalla \eqref{eq:2.8}, questi assumono i tre valori \[ r_k=R_1 f^{k-1}\sin(\alpha), \qquad r_{k+1}=R_1f^{(k+1)-1}\sin(\alpha)=R_1 f^k\sin(\alpha), \qquad r_{k+2}=R_1f^{(k+2)-1}\sin(\alpha)=R_1f^{k+1}\sin(\alpha).\tag{2.13}\label{eq:2.13} \] Se poi eseguiamo il prodotto dei raggi associati alla corona esterna e a quella interna otteniamo \[ r_k\cdot r_{k+2}=\bigl[R_1 f^{k-1}\sin(\alpha)\bigr]\cdot \bigl[R_1 f^{k+1}\sin(\alpha)\bigr]=\bigl[R_1 f^{k}\sin(\alpha)\bigr]^2=(r_{k+1})^2\tag{2.14}\label{eq:2.14} \] otteniamo il quadrato del raggio delle circonferenze intermedie. In sostanza, con riferimento alla parte sinistra della figura 2.9, il prodotto dei raggi dei cerchi di color rosso e verde è uguale al prodotto dei raggi dei cerchi di color blu. Osserviamo inoltre che la medesima relazione è soddisfatta (in questo caso è comunque banale) anche nel caso del lato destro della figura 2.9: il prodotto dei raggi del cerchio rosso e verde è uguale al prodotto dei raggi dei due cerchi blu intermedi. Potremmo quindi riscrivere tale relazione anche come \[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ r_{k+2}={(r_{k+1})(r_{k+1})\over r_{k}}\tag{2.15}\label{eq:2.15} } \] che mette in evidenza il raggio della circonferenza più interna con quelli della corona intermedia e, al denominatore, con quello della più esterna. Notiamo inoltre che, per simmetria, questa proprietà vale per ogni gruppo di tre cerchi (petali) consecutivi e che comprenda quello centrale.
In quanto segue intendiamo quindi estendere questa proprietà costruendo, sulla base di essa una insieme di cerchi (i "petali") tangenti ad uno centrale e analizzarne le conseguenze.

2.3 Generalizzazione

Con riferimento alla figura 2.10 disponiamo il centro di una circonferenza di raggio \(r\) nel punto \(C_0(1,0)\) di un sistema cartesiano di origine \(O\) e una seconda circonferenza di raggio \(r_1\) nel punto di coordinate \(C_1(a \cos(\alpha),a \sin(\alpha))\) dove \(a\) rappresenta evidentemente la distanza \(OC_1\) dall'origine. Poiché le due circonferenze devono essere tangenti deve valere per il triangolo \(OC_0C_1\) (fig. 2.10 sx) il teorema del coseno che riportiamo come \[ a^2+1^2-2a\cos(\alpha)=(r+r_1)^2.\tag{2.16}\label{eq:2.16} \]

Introdotta una terza circonferenza con centro in \(C_2(b \cos(\beta),b \sin(\beta))\) e raggio \(r_2\), vale pure per questa il medesimo teorema (immagine centrale di fig. 2.10) \[ b^2+1^2-2b\cos(\beta)=(r+r_2)^2\tag{2.17}\label{eq:2.17} \] Infine l'ulteriore condizione di tangenza con la prima impone ancora l'applicazione dello stesso teorema al triangolo \(OC_1C_2\) ( fig. 2.10 dx) \[ a^2+b^2-2ab\cos(\beta-\alpha)=(r_1+r_2)^2.\tag{2.18}\label{eq:2.18} \] Se ora supponiamo note le circonferenze con centri in \(C_0\), \(C_1\) e \(C_2\), intendiamo scegliere tra le infinite circonferenze tangenti a quelle con centri in \(C_0\) e \(C_2\), una quarta circonferenza (fig. 2.11) il cui raggio \(r_3\) sia legato alle precedenti da una relazione che estende la precedente \eqref{eq:2.15} e quindi sia \[ r_1\cdot r_3=r\cdot r_2\qquad\hbox{oppure}\qquad r_3=\Bigl({r_2\over r_1}\Bigr)r.\tag{2.19}\label{eq:2.19} \] Più avanti mostreremo come individuare il centro \(C_3\) di questa circonferenza mentre ora intendiamo sottolineare come questa procedura si possa facilmente iterare.

Difatti, a partire ora dalle circonferenze di centri \(C_0\), \(C_2\) e \(C_3\) una sua seconda applicazione ci fornisce una circonferenza tangente alla \(C_0\) e alla \(C_3\) con raggio pari a \[ r_2\cdot r_4=r\cdot r_3\qquad\hbox{oppure}\qquad r_4=\Bigl({r_3\over r_2}\Bigr)r\tag{2.20}\label{eq:2.20} \] Procedendo in tal modo, otteniamo nei passi successivi i raggi delle circonferenze \[ r_5=\Bigl({r_{4}\over r_{3}}\Bigr)r,\qquad r_6=\Bigl({r_{5}\over r_{4}}\Bigr)r,\qquad r_7=\Bigl({r_{6}\over r_{5}}\Bigr)r,\qquad r_8=\Bigl({r_{7}\over r_{6}}\Bigr)r,\quad\dots\tag{2.12}\label{eq:2.21} \] D'altra parte, poiché questo processo inizia supponendo noti i centri \(C_0\), \(C_1\) e \(C_2\) e i rispettivi raggi \(r\), \(r_1\) e \(r_2\) esprimiamo i raggi successivi in funzione di questi valori. Sostituendo l'espressione \eqref{eq:2.19} nella \eqref{eq:2.21} e, a cascata, negli altri otteniamo la successione \[ \hbox{noti:}\quad r,\,r_1,\, r_2,\quad\Longrightarrow\quad r_3={r_2r\over r_1},\quad r_4={r^2\over r_1},\quad r_5={r^2\over r_2},\quad r_6={r_1r\over r_2},\quad r_7=r_1,\quad r_8=r_2,\dots\tag{2.22}\label{eq:2.22} \] che, sorprendentemente, riprende gli stessi valori dopo sei circonferenze. Questo fatto ci induce a pensare che la sesta circonferenza sia tangente alla prima oppure che la settima circonferenza di raggio \(r_1\) abbia il centro coincidente con la prima e, in tal modo, chiudendo la catena: si verrebbe quindi a formare una configurazione di circonferenze quale quella mostrata nella figura 2.12 composta da una catena di sei circonferenze ciascuna delle quali è tangente alle due adiacenti e a quella centrale generalizzando la configurazione "floreale" precedente di fig. 2.9.

2.4 Verifica

La dimostrazione formale di questa notevole proprietà, individuata da Peter Doyle alla fine degli anni Ottanta, esula dai nostri scopi mentre intendiamo fornire una sua verifica sfruttando, là dove il calcolo esplicito assume dimensioni ragguardevoli pur non particolarmente sofisticate, le capacità simboliche di Mathematica.
Se quindi, al triangolo \(C_0C_1C_2\) di figura 2.12 applichiamo il teorema del coseno coinvolgendo l'angolo al vertice \(C_0\), \(\alpha_1=\angle C_1C_0C_2\) \[ (C_0C_1)^2+(C_0C_2)^2-2(C_0C_1)(C_0C_2)\cos(\angle C_1C_0C_2)=(C_1C_2)^2 \] da questa relazione, inserendo le lunghezze \(C_0C_1=r+r_1\), \(C_0C_2=r+r_2\), \(C_1C_2=r_1+r_2\), otteniamo \(\cos(\alpha_1)\) \[ \cos(\alpha_1)={(r+r_1)^2+(r+r_2)^2-(r_1+r_2)^2\over 2(r+r_1)(r+r_2)}\tag{2.23}\label{eq:2.23} \] e conseguentemente \[ \sin(\alpha_1)=\sqrt{1-\cos^2(\alpha_1)}. \] Procedendo allo stesso modo con i rimanenti cinque triangoli di figura 2.12 veniamo a esprimere il coseno e il seno degli angoli associati al vertice \(C_0\) e ciascuna funzione goniometrica è rappresentata in termini dei soli raggi \(r\), \(r_1\) e \(r_2\). Non ci resta che sviluppare il coseno della somma di questi angoli in una somma di prodotti di seni e coseni (sono in totale 32 addendi!) \[ \eqalign{\cos(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_6)&=\cos(\alpha_1)\cos(\alpha_2)\cos(\alpha_3)\cos(\alpha_4)\cos(\alpha_5)\cos(\alpha_6)\cr &\quad-\cos(\alpha_3)\cos(\alpha_4)\cos(\alpha_5)\cos(\alpha_6)\sin(\alpha_1)\sin(\alpha_2)+\hbox{altri 29 addendi}\cr &\quad-\sin(\alpha_1)\sin(\alpha_2)\sin(\alpha_3)\sin(\alpha_4)\sin(\alpha_5)\sin(\alpha_6)\cr}\tag{2.24}\label{eq:2.24} \] e quindi sostituire le coppie \(\cos(\alpha_i),\,\sin(\alpha_i)\) con \(i=1,\,2,\dots,6\) e, ovviamente, semplificare (automaticamente!) l'espressione che in tal modo si ottiene. Il risultato di questo calcolo è semplicemente \[ \cos(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_6)=1 \] che pertanto comporta un valore per la somma dei sei angoli pari a \(2\pi\) \[ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_6=2\pi. \] Confermiamo in tal modo la chiusura della catena di sei circonferenze cioè la tangenza della sesta con la prima.

Parte 2: sezione 3

3.1 Ricerca delle soluzioni

Le relazioni finora accumulate nella costruzione della configurazione di figura 2.12 sono dedotte dall'applicazione del teorema del coseno in \eqref{eq:2.16}, \eqref{eq:2.17}, \eqref{eq:2.18} alle quali si aggiunge la \eqref{eq:2.22} che definisce i raggi delle rimanenti quattro circonferenze. In particolare la terza equazione del sistema seguente \[ \cases{a^2+1^2-2a\cos(\alpha)=(r+r_1)^2\cr b^2+1^2-2b\cos(\beta)=(r+r_2)^2\cr a^2+b^2-2ab\cos(\beta-\alpha)=(r_1+r_2)^2\cr}\tag{2.25}\label{eq:2.25} \] dev'esser compatibile con le prime due per assicurare la mutua tangenza delle circonferenze della catena. D'altra parte la presenza di ben 7 incognite in un sistema di tre equazioni impone una qualche condizione aggiuntiva per poter costruire la configurazione di base. A tal fine e osservando come la circonferenza di centro \((1,0)\) e raggio \(r\) svolga un ruolo "centrale" tra i restanti "petali" del "fiore" esagonale, imponiamo le seguenti condizioni sui raggi delle prime due circonferenze della catena \[ r_1= a\cdot r.\quad r_2= b\cdot r.\tag{2.26}\label{eq:2.26} \] In tal modo i raggi delle prime due circonferenze sono una frazione del modulo dei loro centri e, di conseguenza, risulta immediato risolvere le precedenti tre equazioni in termini di \(r^2\). Riscriviamo pertanto il sistema \eqref{eq:2.25} come \[ \cases{\eqalign{r^2&=\displaystyle{{1+a^2-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}\cr\ r^2&=\displaystyle{{1+b^2-2b\cos(\beta)\over (1+b)^2}}\cr\ r^2&=\displaystyle{{a^2+b^2-2ab\cos(\beta-\alpha)\over (a+b)^2}}.\cr}} \tag{2.27}\label{eq:2.27} \] Il sistema contiene ora cinque incognite per cui se ne assegniamo due, per esempio, i moduli \(a\) e \(b\) e cioè le distanze \(OC_1\), \(OC_2\) (fig. 2.10), possiamo determinare le rimanenti tre. Eliminando \(r^2\) dal sistema \eqref{eq:2.27}, otteniamo le due fondamentali equazioni \[ \cases{\eqalign{\displaystyle{{a^2+1^2-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}&=\displaystyle{{b^2+1^2-2b\cos(\beta)\over (1+b)^2}}\cr \displaystyle{{a^2+1^2-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}&=\displaystyle{{a^2+b^2-2ab\cos(\beta-\alpha)\over (a+b)^2}}\cr}}\tag{2.28}\label{eq:2.28} \] che, una volta risolte, per es. in \(\alpha\) e \(\beta\), ci permettono di risalire pure al raggio \(r\) con una qualsiasi delle \eqref{eq:2.27} e alle coordinate dei centri \[ C_1(a \cos(\alpha), a\sin(\alpha)),\qquad C_2(b\cos(\beta), b\sin(\beta)).\tag{2.29}\label{eq:2.29} \] A seguito delle condizioni \eqref{eq:2.26} i raggi \eqref{eq:2.22} delle sei circonferenze della corona sono ora \[ r_1=a r,\quad r_2=b r,\quad r_3=\Bigl({b\over a}\Bigr)r,\quad r_4={r\over a},\quad r_5={r\over b},\quad r_6=\Bigl({a\over b}\Bigr)r\tag{2.30}\label{eq:2.30} \]

I centri \(C_i\) con \(i=3,\,4,\,5,\,6\) si determinano sfruttando ancora il sistema \eqref{eq:2.28} che, tranne casi particolari (sez. 3.4), dev'essere risolto con metodi numerici. Difatti e come esempio, ottenute le soluzioni del sistema \eqref{eq:2.28} e quindi nota la coppia \(b, \,\beta\) e volendo determinare le coordinate di \(C_3(c\cos(\gamma),c\sin(\gamma))\) indipendentemente dai risultati formali successivi \eqref{eq:2.31}, le condizioni da imporre sulle reciproche tangenze dei cerchi con centri \(C_0,\,C_2,\,C_3\) (fig. 2.13), sono del tutto simili alle \eqref{eq:2.28} con le sostituzioni \(a\rightarrow c\) e \(\alpha\rightarrow\gamma\).

Comunque dato che il processo è iterativo, i risultati formali per le rimanenti circonferenze della catena sono \[ \eqalign{ &C_3\Bigl({b\over a}\cos(\beta-\alpha), {b\over a}\sin(\beta-\alpha)\Bigr),&\quad r_3=\Bigl({b\over a}\Bigr)r\cr &C_4\Bigl({1\over a}\cos(-\alpha), {1\over a}\sin(-\alpha)\Bigr),&\quad r_4={r\over a}\cr &C_5\Bigl({1\over b}\cos(-\beta), {1\over b}\sin(-\beta)\Bigr),&\quad r_5={r\over b}\cr &C_6\Bigl({a\over b}\cos(\alpha-\beta), {a\over b}\sin(\alpha-\beta)\Bigr),&\quad r_6=\Bigl({a\over b}\Bigr)r\cr }\tag{2.31}\label{eq:2.31} \] Osservando la struttura di questi risultati e il parallelismo tra moduli e angoli comprendiamo come, sulla base di soli due parametri, per esempio \(a\) e \(b\) si possano costruire non solo le sei circonferenze della catena ma, iterando il procedimento come vedremo nella prossima sezione, un intero insieme di circonferenze tangenti ciascuna delle quali è il centro da una catena di sei circonferenze.
Riassumiamo le precedenti sei coppie costituite dalle coordinate dei centri delle sei circonferenze e dal relativo raggio \eqref{eq:2.29}, \eqref{eq:2.30}, \eqref{eq:2.31}, nella scrittura \[ C\bigl(a^j b^k\cos(j\alpha+k\beta),\, a^j b^k\sin(j\alpha+k\beta)\bigr),\qquad \hbox{raggi}: r_{j,k}=(a^j b^k)r, \tag{2.32}\label{eq:2.32} \] considerando, per ora, le sole combinazioni di indici \((j,k): (1,0), (0,1), (-1,1), (-1,0), (0,-1),(1,-1)\).
Infine, ponendo \(a=b\), otteniamo dalle precedenti relazioni la configurazione della figura seguente 2.14. I raggi assumono i valori \[ r_1=r_2,\quad r_3=r_6=r,\quad r_4=r_5. \] e, assieme alla disposizione dei centri, riproduce la configurazione di partenza di catene concentriche (fig. 2.9).

3.2 Estensione all'intero piano

Il processo che introduce una quarta circonferenza a partire da tre tra loro tangenti è, come già sottolineato, facilmente estendibile: per esempio e a partire dalla disposizione di figura 2.12 ripresa nella successiva 2.15, il raggio \(r_{2,3}\) della circonferenza costruita a partire dalle \(C_0\), \(C_2\) e \(C_3\) si ottiene come

\[ r_{2,3}\,r=r_2 r_3\quad\Longrightarrow\quad r_{2,3}= r_2\cdot r_3\cdot {1\over r}=br\cdot {br\over a}\cdot{1\over r}={b^2r\over a}, \] mentre il raggio \(r_{4,5}\) della circonferenza "generata" da \(C_0\), \(C_4\) e \(C_5\) è \[ r_{4,5}\,r= r_4r_5\quad\Longrightarrow\quad r_{4,5}=r_4\cdot r_5\cdot {1\over r}={r\over a}\cdot {r\over b}\cdot {1\over r}={r\over ab} \] e dove in entrambe le precedenti relazioni abbiamo utilizzato i raggi riportati in \eqref{eq:2.30}. Di conseguenza i centri sono \[ C_{3,4}\Bigl({b^2\over a}\cos(-\alpha+2\beta), {b^2\over a}\sin(-\alpha+2\beta) \Bigr),\qquad C_{4,5}\Bigl({1\over ab}\cos(-\alpha-\beta), {1\over ab}\sin(-\alpha-\beta) \Bigr). \] Sulla base di questi due esempi comprendiamo come all'estendersi della struttura di circonferenze centri e raggi siano descritti dalle relazioni riportate in \eqref{eq:2.32} dove gli esponenti potranno assumere qualsiasi valore intero o nullo e di qualsiasi segno. Non ci resta che riportare qualche esempio di questo processo mettendo in evidenza il cerchio iniziale (fig. 2.16).

Come si può facilmente rilevare, le circonferenze suggeriscono un andamento a spirale dei rispettivi centri ma all'estendersi della configurazione immancabilmente si sovrappongono alle precedenti. A questo punto solo una attenta scelta dei parametri da cui partire, basata comunque su tentativi può fornire un impacchettamento di cerchi tali da sovrapporsi perfettamente. Classificate comunque le situazioni di figura 2.16 come incoerenti, dovremo evidentemente approfondire l'analisi per ottenere impacchettamenti coerenti.

3.3 Le spirali di Doyle coerenti

Quale primo esempio scegliamo i valori di \(a=1.55\) e \(b=1.1\) e, a partire dalle 6 circonferenze della catena, calcoliamo le potenze dei raggi \[ r_{1,j}=a^j r,\quad r_{2,j}=b^j r,\quad r_{3,j}=\Bigl({b\over a}\Bigr)^jr,\quad r_{4,j}={r\over a^j},\quad r_{5,j}={r\over b^j},\quad r_{6,j}=\Bigl({a\over b}\Bigr)^jr,\qquad j=1,2\dots,10\tag{2.35}\label{eq:2.35} \] e le coordinate dei rispettivi centri. Le traiettorie a spirale seguite in tal modo sono riportate nella figura 2.17 e mostrano una divergenza dal cerchio di centro \(C_0(1,0)\) delle circonferenze della corona, \(r_{1,j},\,r_{2,j},\,r_{6,j}\), in quanto \(a>1,\,b>1,\,a/b>1\), mentre quelle \(b/a<1,\,1/a<1,\,1/b<1\) convergono in continuità con le precedenti attraverso il cerchio iniziale, verso un qualche punto del piano.

Soffermandoci sulle traiettorie delle prime due circonferenze di raggi \(r_{1,j}=a^j r\) e \(r_{2,j}=b^j r\) (fig. 2.18) e scegliamo, per tentativi, i valori iniziali di \(a=1.57\) e \(b=1.12782\). In corrispondenza di questi valori osserviamo come la circonferenza con centro \(C_{2,15}\) sia vicina a quella di indice \(j=4\) e centro \(C_{1,4}\) (fig. 2.18 sx). Modificando, ancora per tentativi, il solo valore di \(a\) (fig. 2.18 dx) otteniamo che circonferenze e centri associati delle due traiettorie appaiono quasi coincidenti cosicché tra i raggi vale la relazione approssimata \(r_{1,4}\approx r_{2,15}\) ossia \(a^4\approx b^{15}\).

Volendo quindi ricercare la coincidenza trasformando le spirali in spirali coerenti deve valere la relazione tra i raggi \(a^4=b^{15}\) ossia, fissato \(a\), dev'essere \(b=a^{4/15}\). Questa condizione comunque non è sufficiente in quanto pure i centri \[ C_{1,4}\bigl(a^4\cos(4\alpha),a^4\sin(4\alpha)\bigr),\qquad C_{2,15}\bigl(b^{15}\cos(15\beta),b^{15}\sin(15\beta)\bigr) \] devono coincidere per cui va associata alla \[ C_{1,4}\equiv C_{2,15}\quad\Longrightarrow\quad 15\beta=4\alpha+2\pi \quad\Longrightarrow\quad \beta={4\over 15}\alpha+{2\pi\over 15}. \] Introdotte queste due condizioni nel sistema \eqref{eq:2.28} e determinate numericamente le grandezze incognite \(a\), \(\alpha\) e \(r\), otteniamo quanto riportato nella figura 2.19 dove abbiamo evidenziato la progressione degli indici.

Generalizzando quanto trovato, le condizioni di coerenza per le spirali di Doyle si traducono nelle condizioni sui raggi e sugli angoli \[ a^p=b^q, \qquad p\alpha+2\pi=q\beta\tag{2.36}\label{eq:2.36} \] con \(p\) e \(q\) indici interi positivi o nulli. Ne segue che \[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ b=a^{p/q},\qquad \beta={p\alpha+2\pi\over q}\qquad p,\,q\in \mathbb{Z}^{0+}=\{0,1,2,3,\ldots\}}\tag{2.37}\label{eq:2.37} \] cosicché il sistema \eqref{eq:2.28} assume la forma definitiva \[ \cases{\eqalign{\displaystyle{{a^2+1-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}&=\displaystyle{{a^{2p/q}+1-2a^{p/q}\cos\Bigl(\displaystyle{{p\alpha+2\pi\over q}}\Bigr)\over (1+a^{p/q})^2}}\cr \displaystyle{{a^2+1-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}&=\displaystyle{{a^2+a^{2p/q}-2a^{1+(p/q)}\cos\Bigl(\displaystyle{p\alpha+2\pi\over q}-\alpha\Bigr)\over (a+a^{p/q})^2}}.\cr}}\tag{2.38}\label{eq:2.38} \] In generale sarà necessaria l'applicazione di metodi numerici per determinare le sue soluzioni in \(a\), \(\alpha\) e \(r\) mentre una soluzione analitica esiste solo in alcuni casi particolari (prop. 7, 8). Centri e raggi sono ancora dati dalla \eqref{eq:2.32} con gli indici ora estesi a \(\mathbb Z\) \[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ C\bigl(a^j b^k\cos(j\alpha+k\beta), a^j b^k\sin(j\alpha+k\beta)\bigr),\qquad \hbox{raggi}: r_{j,k}=(a^j b^k)r,\qquad j,\,k\in \mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots\} \tag{2.39}\label{eq:2.39} } \] per cui la posizione, posta inizialmente in \eqref{eq:2.26}, che lega la distanza dei centri \(C\) dall'origine \(OC=a^jb^k\) con i raggi delle circonferenze \(r_{j,k}\) è ancora la costante \[ {OC\over r_{j,k}}={a^jb^k\over (a^jb^k)r}={1\over r}.\tag{2.40}\label{eq:2.40} \]

3.4 Proprietà delle spirali di Doyle

Il sistema di equazioni \eqref{eq:2.38} dipende da solo due parametri interi cosicché, al variare di questi parametri, dà luogo ad un insieme infinito di impacchettamenti del piano. In questa sezione intendiamo esplorare alcune proprietà di questi impacchettamenti per cui associamo ad ogni immagine la coppia di valori che la determina.
Selezionata una finestra nel piano che comprenda il centro della configurazione attorno al quale si sviluppa l'intero impacchettamento, rappresentiamo nella figura 2.20, circonferenze e centri delle prime due spirali coerenti. Se appare evidente come ogni circonferenza sia tangente ad altre sei in tal modo ripresentando la situazione iniziale della catena attorno al cerchio di centro \((1,0)\), al contrario appare difficile riconoscere l'andamento seguito dalle circonferenze così come l'appartenenza dei centri a spirali logaritmiche. Per questo motivo nelle figure seguenti coloriamo i cerchi delle varie configurazioni e riportiamo le curve a spirale cui appartengono i centri così da rendere manifeste le proprietà sottostanti: nello stesso tempo, la rappresentazione acquista pure un qualche valore estetico.

I Terna. La prima terna, fig. 2.21, riprende l'immagine di sinistra della figura 2.20 corrispondente alla coppia di interi \(p=2, q=8\) e intende mostrare come in ogni spirale di Doyle i centri di ciascuna circonferenza (o cerchio) appartengano a tre distinte spirali logaritmiche. Difatti in corrispondenza di \(p=2\) nell'immagine di sinistra i cerchi seguono due spirali logaritmiche le cui equazioni differiscono solo per un angolo di fase pari a \(2\pi/p=\pi\): le due spirali risultano pertanto sovrapponibili se ne ruotiamo una di \(180^\circ\). Le loro equazioni discendono dalla \eqref{eq:2.39} una volta che si passi dall'indice discreto \(k\) a quello continuo \(t\) e sono \[ \cases{x=b^t\cos\Bigl(\beta\, t+\displaystyle{2\pi\over p}i\Bigr)\cr\\ y=b^t\sin\Bigl(\beta\, t+\displaystyle{2\pi\over p}i\Bigr)\cr}\qquad i=0,\ldots p-1\tag{2.41}\label{eq:2.41} \] equazioni che dipendono dai parametri \((b,\beta,p)\).

Dato che l'unica loro differenza consiste in una rotazione attorno al centro della configurazione diremo che l'immagine di sinistra presenta una spirale a due bracci. Siccome i raggi del medesimo braccio (in tal caso \(j=0\) oppure \(j=1\)) seguono la legge esponenziale \eqref{eq:2.39} \[ r_{0,k}=r_k=(a^0b^k)r=b^kr \] ne deriva che il rapporto tra i raggi di circonferenze adiacenti e appartenenti alla spirale dell'immagine 2.21 di sinistra è il fattore di scala \[ {r_{k+1}\over r_k}={b^{k+1}r\over b^k r}=b\tag{2.42}\label{eq:2.42} \] che, per la \eqref{eq:2.37} sappiamo essere in questo caso \(b=a^{2/8}\).
Gli 8 bracci della spirale nell'immagine centrale sono invece descritti dalla spirale logaritmica dipendente dai valori \((a,\alpha,q)\) \[ \cases{x=a^t\cos\Bigl(\alpha\, t+\displaystyle{2\pi\over q}i\Bigr)\cr\\ y=a^t\sin\Bigl(\alpha\, t+\displaystyle{2\pi\over q}i\Bigr)\cr}\qquad i=0,\ldots, q-1\tag{2.43}\label{eq:2.43} \] con fattore di scala uguale ad \(a\), mentre nell'immagine di destra la spirale con \(q-p=6\) bracci, generata dai parametri \((a/b,\alpha-\beta,q-p)\) è \[ \cases{x=\displaystyle{\Bigl({a\over b}\Bigr)^{\kern-2pt t}\cos\Bigl[(\alpha-\beta)\, t+{2\pi\over q-p}i\Bigr]}\cr\\ y=\displaystyle{\Bigl({a\over b}\Bigr)^{\kern-2pt t}\sin\Bigl[(\alpha-\beta)\, t+{2\pi\over q-p}i\Bigr]}\cr}\qquad i=0,\ldots,(q-p)-1\tag{2.44}\label{eq:2.44} \] con rapporto tra raggi pari a \(a/b\). Nella figura 2.22 (sx) evidenziamo le tre spirali osservando come il centro di ogni circonferenza appartenga a ciascuna curva logaritmica mentre la parte destra mostra come le sei circonferenze che formano una catena attorno ad una qualsiasi circonferenza centrale si suddividono in tre coppie con centri sulla medesima spirale, ciascuna disposta da parti opposte rispetto alla centrale.

II terna. Nella figura 2.23 evidenziamo ancora le tre spirali, questa volta, con numero di bracci uguale a \(p=5\), \(q=20\) e \(q-p=15\). Le loro equazioni sono quelle già riportate in \eqref{eq:2.41}, \eqref{eq:2.43} e \eqref{eq:2.44} e i cerchi associati a ciascuna sono riportati con lo stesso colore. Osserviamo che per il conteggio dei bracci in quella a sinistra si deve procedere radialmente a partire da un colore per giungere al colore che lo precede.

III terna. Per ottenere le immagini della figura 2.24 si è imposto un limite superiore alla distanza dal centro della configurazione. Analogamente in diverse altre immagini si è posto un limite inferiore per mantenere la leggibilità della parte centrale. Osserviamo come nell'immagine centrale la spirale logaritmica abbia una curvatura quasi nulla e ciò, come vedremo più avanti, in quanto tra \(p\) e \(q\) sussiste la relazione approssimata \(2p\approx q\).

IV terna. La prima immagine a sinistra della terna 2.25 riporta la configurazione centrale ottenuta con \(p=2\) e \(q=7\) mentre l'immagine centrale è generata dalla coppia \(p=5\) e \(q=7\). Osservando attentamente la seconda immagine dove si è intenzionalmente mantenuta la medesima colorazione, notiamo come questa sia un'immagine speculare della prima avente come asse la linea grigia orizzontale. Quale conferma visiva di questa osservazione applichiamo questa riflessione all'immagine centrale: sovrapposta quindi alla prima, giungiamo alla immagine finale di destra che conferma visivamente la proprietà.
Pertanto spirali caratterizzate dalla coppia \((p,q)\) possiedono un'immagine speculare nella coppia \((q-p, q)\) e poiché \(p\) e \(q\) sono degli interi positivi o nulli per la \eqref{eq:2.37}, ne discende \(q-p≥0\) ossia \(0≤p≤ q\).

V terna. La proprietà precedente è confermata anche in questo caso in quanto l'immagine alla destra di figura 2.26 presenta \(q-p=8\) bracci come nell'immagine di sinistra. In questo caso comunque è la stessa configurazione che risulta simmetrica specularmente come mostra l'immagine centrale dove una delle tre spirali ha assunto la forma degenere di semirette uscenti dal centro. Osserviamo come in questo caso valga la relazione \(q=2p\) mentre nell'immagine centrale di figura 2.24 la relazione era solo approssimata.

VI terna. Nella terna di immagini 2.27 mostriamo la stessa spirale, in particolare quella dipendente dai tre parametri \((a,\alpha,q)\) \eqref{eq:2.43}. La successione da sinistra a destra mette in evidenza come varia la curvatura all'aumentare del parametro \(p\). Con \(p<5\) la spirale ruota nel verso orario quindi, attraversando il valore di soglia \(p=q/2=5\) dove degenera in una famiglia di semirette, assume una rotazione antioraria. Ancora una volta l'immagine di destra è la simmetrica della prima rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro.

VII terna. A conferma della degenerazione della spirale generata da \((a,\alpha)\) quando si abbia \(2p=q\) riportiamo nella figura 2.28 tre esempi dai quali appaiono evidenti le simmetrie delle rimanenti due spirali rispetto agli assi definiti da quella degenere.
Il sistema \eqref{eq:2.38} in questo caso si riduce alle equazioni \[ \cases{\eqalign{\displaystyle{{a^2+1-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}&={a+1-2\sqrt{a}\cos\Bigl(\displaystyle{{\pi\over p}+{\alpha\over 2}}\Bigr)\over (1+\sqrt{a})^2}\cr \displaystyle{{a^2+1-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}}&={a+1-2\sqrt{a}\cos\Bigl(\displaystyle{{\pi\over p}-{\alpha\over 2}}\Bigr)\over (1+\sqrt{a})^2}.\cr}}\tag{2.45}\label{eq:2.45} \] dal quale, uguagliando i secondi membri otteniamo \[ \cos\Bigl(\displaystyle{{\pi\over p}+{\alpha\over 2}}\Bigr)=\cos\Bigl(\displaystyle{{\pi\over p}-{\alpha\over 2}}\Bigr) \] che implica \(\alpha=0\). Ne discende un'equazione nell'incognita \(a\) di quarto grado comunque risolvibile formalmente cosicché le equazioni della spirale \eqref{eq:2.43} si riducono alle \[ \cases{x=a^t\cos\Bigl(\displaystyle{2\pi\over q}i\Bigr)\cr\\ y=a^t\sin\Bigl(\displaystyle{2\pi\over q}i\Bigr)\cr}\qquad i=0,\ldots, q-1\tag{2.46}\label{eq:2.46} \] che descrivono in forma parametrica rette per l'origine \(O\) e in forma esplicita \(y=\tan(2\pi\,i/q)\,x\), tra le quali è sempre presente l'asse orizzontale.

VIII terna. La terna (fig. 2.29) mostra, a sx, la spirale associata alla coppia \((b,\beta)\,\) con \(p=1,\,q=16\), mentre a dx l'immagine è associata alla coppia \((a/b,\alpha-\beta)\) con \(p=q-1\). Le due spirali ruotano in versi opposti e, come sappiamo, la configurazione possiede una simmetria speculare. Nell'immagine centrale dove \(p\) assume uno qualsiasi dei valori limite \(p=0\) o \(p=q\), la spirale descritta da \((a/b,\alpha-\beta)\) collassa nella circonferenza di raggio unitario e centro \(O\) in quanto \(a/b=1\). L'impacchettamento che ne risulta è quindi costituito da una successione di corone circolari entro cui ogni circonferenza è tangente alle due adiacenti, a due della corona precedente e a due della corona successiva. Ritroviamo in tal modo la ben nota configurazione di catene di circonferenze concentriche dalla quale siamo partiti per estenderne le proprietà (figg. 2.9, 2.14).

Nel caso quindi sia \(p=q\) oppure \(p=0\), il sistema \eqref{eq:2.38} può essere risolto analiticamente e le sue equazioni diventano \[ \cases{\displaystyle{{1+a^2-2a\cos(\alpha)\over (1+a)^2}=\sin^2\Bigl({\pi\over p}\Bigr)}\cr\\ \displaystyle{{a\over 1+a}\biggl[\cos(\alpha)-\cos\Bigl({{2\pi\over p}+\alpha}\Bigr)\biggr]=0}.\cr}\tag{2.47}\label{eq:2.47} \] Dalla seconda di queste discende l'equazione goniometrica \[ \cos(\alpha)=\cos\Bigl({{2\pi\over p}+\alpha}\Bigr)\tag{2.48}\label{eq:2.48} \] le cui soluzioni sono gli angoli \[ \alpha=-{\pi\over p}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}. \] Sostituito il valore \(\alpha=-\pi/p\) nella prima di \eqref{eq:2.47} e considerato che \(\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\) l'equazione diviene \[ 1+a^2-2a\cos\Bigl({\pi\over p}\Bigr)=(1+a)^2\sin^2\Bigl({\pi\over p}\Bigr)\tag{2.49}\label{eq:2.49} \] che coincide con la già discussa \eqref{eq:2.4} non appena si ponga \(R_1=1\) e \(R_2=a\) \[ a^2-2a\Bigl[\sec\Bigl({\pi\over p}\Bigr)+\tan^2\Bigl({\pi\over p}\Bigr)\Bigr]+1=0. \] Pertanto, ripreso il fattore là definito come \(f\), \eqref{eq:2.6}, \[ f=\sec(\alpha)\Bigl\{1+\tan(\alpha)\Bigl[\sin(\alpha)-\sqrt{1+2\cos(\alpha)}\Bigr]\Bigr\}\qquad\hbox{con}\qquad \alpha={\pi\over p}\tag{2.50}\label{eq:2.50} \] le sue soluzioni sono \(a_1=f\) e \(a_2=1/f\), una reciproca dell'altra. Poiché in base alla \eqref{eq:2.27} il secondo membro di \eqref{eq:2.47} rappresenta \(r^2\) abbiamo pure \[ r^2=\sin^2\Bigl({\pi\over p}\Bigr)\qquad\Longrightarrow\qquad r=\sin\Bigl({\pi\over p}\Bigr)\tag{2.51}\label{eq:2.51} \] e quindi otteniamo l'espressione analitica del raggio del cerchio di centro \((1,0)\) che, come più volte evidenziato, costituisce il parametro di scala per l'intera configurazione..
Notiamo infine (fig. 2.30) come le altre due spirali a seguito dell'uguaglianza \(a=b\) siano l'una la simmetrica dell'altra rispetto ad un asse orizzontale per il centro.

Parte 2: sezione 4

4.1 Una incursione nel campo dei numeri complessi

Il percorso che ci ha condotti alla comprensione delle spirali di Doyle è partito dalla configurazione costituita da catene concentriche di circonferenze e, com'è naturale in un processo che intende ampliare le proprietà iniziali, ritroviamo la medesima configurazione come caso particolare delle spirali di Doyle. In questa sezione, dopo alcuni cenni di introduzione ai numeri complessi e alla loro interpretazione sul piano di Gauss-Argand, riprendiamo quanto solo accennato nella prima parte e nel riquadro 2 soffermandoci in particolare sulla funzione esponenziale. Scopriremo come la configurazione ottenuta con questa funzione sia strettamente legata ad un altro, e ben noto, impacchettamento di cerchi.

Un numero complesso \(z\) è definito dall'espressione \[ z= x+I y\tag{2.52}\label{eq:2.52} \] dove \(x\) e \(y\) sono numeri reali e \(I\) è il simbolo dell'unità immaginaria che soddisfa la fondamentale condizione \(I^2=-1\). I numeri \(x\) e \(y\) sono chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso \(z\) e sono indicati come \[ x=\hbox{Re}(z),\qquad y=\hbox{Im}(z). \] Un numero complesso \(z=x+I y\) è rappresentato nel piano \(OXY\) (detto piano di Gauss-Argand) da un punto \(P\) di coordinate \((x,y)\) o dal vettore \(\overrightarrow{OP}\) (fig. 2.31) il cui modulo, detto modulo del numero complesso \(z\) viene indicato come \(|z|\) oppure come \(\rho\). L'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo di figura 2.31 comporta la relazione con la parte reale e immaginaria \[ |z|=\rho=\sqrt{x^2+y^2}\tag{2.53}\label{eq:2.53} \]

per cui è \(|z|≥0\). L'angolo \(\theta\) formato dal vettore \(\overrightarrow{OP}\) e dall'asse \(OX\) è chiamato argomento principale del numero complesso \(z\) ed è denotato dalla scrittura \(\theta=\arg(z)\) e, nel caso più semplice quando \(\hbox{Re}(z)=x>0\) è dato da \[ \theta=\arctan\biggl({y\over x}\biggr)\tag{2.53bis}\label{eq:2.53bis} \] In generale risulta \(-\pi<\arg(z)≤\pi\). Come anticipato nella prima parte si definisce il numero \(\overline{z}\), detto complesso coniugato di \(z\), il numero complesso \[ \overline{z}=x-I y\tag{2.54}\label{eq:2.54} \] che possiede la medesima parte reale ma l'opposto di \(\hbox{Im}(z)\). Indicato con \(\mathbb{C}\) l'insieme dei numeri complessi, abbiamo visto che l'inversione circolare \(I(O,r)\) può esprimersi come l'applicazione che associa \(z\in\mathbb{C}-{O}\) a \(z'\) come \[ I(O,r)\colon\,z\longmapsto z'={\biggl({r^2\over z\overline{z}}\biggr)}z \] con \(z\overline{z}=x^2+y^2\) (v. riquadro 1).
Una rappresentazione alternativa del numero complesso \(z\) è quella polare o trigonometrica e discende immediatamente dalla precedente non appena si considerino le relazioni goniometriche di un triangolo rettangolo \[ x=\rho\cos(\theta),\qquad y=\rho\sin(\theta). \] In tal caso, e a partire dalla \eqref{eq:2.52}, il numero \(z\) si rappresenta come \[ z=\rho\cos(\theta)+I[\rho\sin(\theta)]=\rho\bigl[\cos(\theta)+I\sin(\theta)\bigr]\tag{2.55}\label{eq:2.55} \] A questo punto, e su basi matematiche più avanzate collegate agli sviluppi in serie, si può dimostrare la validità dell'identità di Eulero \[ \exp({I\theta})=\cos(\theta)+I\sin(\theta)\tag{2.56}\label{eq:2.56} \] dove la base dell'esponenziale, \(e\), è il numero di Nepero \(e\approx 2.71829\) a sua volta base dei logaritmi naturali (intendiamo scrivere per motivi di leggibilità, \(\exp(I\theta)=e^{I\theta}\)). Notato che \(|\exp(I\theta)|=1\) e ripresa la precedente forma polare, ne deriva la rappresentazione esponenziale \[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ z=x+Iy=\rho\bigl[\cos(\theta)+I\sin(\theta)\bigr]=\rho\, \exp({I\theta})\tag{2.57}\label{eq:2.57} } \] che gode delle tipiche proprietà delle potenze quali \[ \bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ z_1\cdot z_2=\bigr[\rho_1\exp({I\theta})\bigr]\cdot \bigl[\rho_2\exp({I\phi})\bigr]=(\rho_1\rho_2)\exp\bigl[{I(\theta+\phi)}\bigr],\qquad z^n=\bigl[\rho\,\exp({I\theta})\bigr]^n=\rho^n\exp\bigl[{I(n\theta)}\bigr].} \tag{2.58}\label{eq:2.58} \] Pur essendo possibile definire la funzione esponenziale in forme più generali per i nostri scopi si dimostra sufficiente considerare la funzione esponenziale nel caso particolare in cui il fattore \(\theta\) ad esponente sia un numero reale qualsiasi: intendiamo pertanto limitarci alla funzione \[ \exp\colon\,(\rho,\theta)\longmapsto z=\rho\exp(I\theta),\qquad \rho≥0\,\wedge\, \theta\in\mathbb{R}. \] La rappresentazione geometrica nel piano di Gauss della \eqref{eq:2.57} al variare dell'argomento \(\theta\) è una circonferenza con centro in \(O\) e raggio \(\rho\) (fig. 2.32).

Accanto alla funzione esponenziale, si definisce nel campo complesso pure la funzione logaritmica \(\log(z)\) che, come nel campo dei numeri reali \(\mathbb{R}\) rappresenta l'inversa della funzione esponenziale. Limitandoci all'argomento principale la sua definizione è \[ \log(z)=\log|z|+I \arg(z),\qquad z\not=0 \] per cui, se \(z=\rho\exp({I\theta})\), il corrispondente logaritmo è \[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ \log\bigl[\rho\exp({I\theta})\bigr]=\log(\rho)+I \theta.\tag{2.59}\label{eq:2.59} } \] Dalle proprietà dell'esponenziale discendono inoltre quelle ben note del logaritmo quali \[ \log(z_1\cdot z_2)=\log(z_1)+\log(z_2),\qquad \log(z^n)=n\log(z).\tag{2.60}\label{eq:2.60} \] Con queste definizioni e proprietà siamo in grado di riscrivere non solo, e in modo sintetico, le relazioni che definiscono le circonferenze coinvolte nelle spirali di Doyle ma, soprattutto, comprendere l'azione svolta dalla funzione esponenziale.
Nel piano di Gauss una circonferenza \(C\) di centro \(z_0=x_0+I y_0\) e raggio \(r\), si può rappresentare in diversi modi ma nella forma esponenziale risulta data da \[ C_{z_0}\colon\, z=z_0+r\exp({I\theta})\qquad 0≤\theta≤2\pi\tag{2.61}\label{eq:2.61} \] con \(z=x+I y\). La circonferenza \(C_0\) dalla quale siamo partiti per costruire le spirali di Doyle con centro in \(z_0=1+I\cdot 0=1\) e raggio \(r\) è quindi espressa dalla \[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ C_0: z=1+r\exp({I\theta}).}\tag{2.62}\label{eq:2.62} \] Risolto il sistema \eqref{eq:2.28} sappiamo associare alla \(C_0\) le ulteriori 6 circonferenze della corona con le prime due descritte dalle \[ \eqalign{C_{a,1}\colon\, z&=a\exp({I\alpha})+r\bigl[a\exp(I\alpha)\bigr]\cdot \exp({I\theta})=a\exp({I\alpha})\bigl[1+r\exp({I\theta})\bigr]\cr C_{b,1}\colon\, z&=b\exp({I\beta})+r\bigl[b\exp(I\beta)\bigr]\cdot \exp({I\theta})=b\exp({I\beta})\bigl[1+r\exp({I\theta})\bigr].\cr} \] La circonferenza che otteniamo nel passo successivo e appartenente alla medesima spirale, è data da \[ C_{a,2}\colon\, z=\bigl[a\exp({I\alpha})\bigr]^2+r\bigl[a\exp({I\alpha})\bigr]^2\cdot \exp({I\theta})=a^2\exp[{I(2\alpha)}]\bigl[1+r\exp({I\theta})\bigr] \] per cui le circonferenze \(C_{a,j}\) della spirale generata dalla circonferenza \(C_{a,1}\) sono descritte da \[ C_{a,j}\colon\, z=a^j\exp\bigl[{I(j\alpha)}\bigr]\bigl[1+r\exp({I\theta})\bigr]. \] Coinvolgendo in questo processo pure le circonferenze \(C_{b,k}\colon\, z=b^k\exp\bigl[{I(j\beta)}\bigr]\bigl[1+r\exp({I\theta})\bigr]\), l'intero insieme delle spirali viene descritto dalle funzioni esponenziali \[\bbox[border:1px solid red,15px,#ffffcc]{ C_{j,k}\colon\, z=a^jb^k\exp\bigl[{I(j\alpha+k\beta)}\bigr]\bigl[1+r\exp({I\theta})\bigr],\qquad j,k\in\mathbb{Z},\quad0≤\theta≤2\pi}\tag{2.63}\label{eq:2.63} \] ciascuna delle quali, individuata dalla coppia di indici \((j,k)\), rappresenta al variare di \(\theta\) tutti i punti della circonferenza di centro \(C\) e raggio \(r_{j,k}\) \[ C=a^jb^k\exp\bigl[{I(j\alpha+k\beta)}\bigr],\qquad r_{j,k}=\Bigl|a^jb^k\exp\bigl[{I(j\alpha+k\beta)}\bigr]r\Bigr|=(a^j b^k) r,\tag{2.64}\label{eq:2.64} \] espressioni che coincidono con le \eqref{eq:2.39} e anticipate nel riquadro 2.

4.2 Una trasformazione sorprendente

Sulla base della formalizzazione presentata nella precedente sezione e, in particolare, considerando la circonferenza iniziale \(C_0\), \eqref{eq:2.62}, e quella generale rappresentata dalla \eqref{eq:2.63}, appare naturale considerare quest'ultima come l'immagine di \(C_0\) secondo la trasformazione \[ \hbox{Exp}_{j,k}\colon\, C_0 \longmapsto C_{j,k}.\tag{2.65}\label{eq:2.65} \] che indichiamo come \(\hbox{Exp}\) (con \(E\) maiuscola) e manifestamente dipendente dalla funzione esponenziale. Poiché questa dipende dalla coppia di indici discreti \((j,k)\) la trasformazione \(\hbox{Exp}\) viene anche definita come una trasformazione esponenziale discreta. L'impacchettamento del piano che ne consegue si può quindi considerare come l'insieme delle immagini ottenute applicando, al variare degli indici interi \((j,k)\), la funzione esponenziale discreta alla circonferenza \(C_0\). In figura 2.33 riportiamo due esempi grafici descritti formalmente da \[ \eqalign{\hbox{Exp}_{0,4}\colon\,&C_0\longmapsto C_{0,4}\cr \hbox{Exp}_{1,-3}\colon\,&C_0\longmapsto C_{1,-3}.\cr} \]

Sulla base di questa osservazione possiamo pure affermare che la trasformazione \(\hbox{Exp}_{j,k}\) al variare di \((j,k)\) possiede come codominio le corrispondenti spirali di Doyle. Pertanto appare giustificato associare a ciascuna circonferenza del codominio la corrispondente curva del dominio descritta agli stessi indici: in sostanza ci chiediamo quale sia il dominio di quella funzione che inverte l'azione della \(\hbox{Exp}_{j,k}\), funzione che, in tale contesto, non può che essere la funzione logaritmo. Se quindi indichiamo con \(D\) l'insieme codominio (o range) di quest'ultima, dev'essere formalmente

mentre la singola curva \(D_{j,k}\) immagine della circonferenza \(C_{j,k}\) sarà espressa da

Con la medesima intenzione riprendiamo le equazioni parametriche delle spirali logaritmiche \eqref{eq:2.43}, \eqref{eq:2.41} e \eqref{eq:2.44} cui appartengono i centri di \(C_{j,k}\) e le riscriviamo nella forma complessa

e quindi applichiamo ad esse la funzione logaritmo: otteniamo le equazioni

che, seppur in tale forma complessa, rappresentano delle semplici rette. Le figure 2.34, 2.35 e 2.36 esplicitano graficamente l'azione della funzione logaritmo sulle spirali di Doyle e, sorprendentemente, le riportano ad una disposizione esagonale indubbiamente periodica e, come vedremo nell'osservazione finale, quasi regolare. Sottolineiamo come le tre copie di figure riportino la stessa configurazione e si differenziano nel rappresentare a sinistra ciascuna delle tre spirali logaritmiche e a destra le corrispondenti rette. In ogni coppia di immagini utilizziamo la medesima colorazione per mettere in evidenza la periodicità di ordine 3 nella figura 2.34 dove la spirale possiede 3 bracci mentre la periodicità è pari a 12 e a 9 rispettivamente nelle figure 2.35 e 2.36.

Nella figura 2.37 riportiamo assieme le tre spirali logaritmiche (sx) mentre alla destra le loro rette immagini.

La figura 2.38 riporta ancora spirali e relative immagini ma mostra come, nel caso particolare \(p=q\) (oppure \(p=0, q\not=0\)) dove una spirale degenera in circonferenze, le corrispondenti rette assumano una direzione verticale e una periodicità pari a 2.

Infine, in tutte le precedenti coppie di immagini e a partire da quelle a destra, l'azione della funzione esponenziale riporta alle spirali di sinistra. Difatti applicando la funzione \(\hbox{Exp}_{j,k}\) al numero complesso \(z\) \eqref{eq:2.67} si ottiene, ovviamente, la circonferenza \(C_{j,k}\).

4.3 Osservazione finale

Le immagini presentate nella sezione precedente e ottenute applicando il logaritmo alle diverse combinazioni di spirali inducono a pensare che il reticolo formato dalle rette, immagini delle spirali logaritmiche, sia un reticolo esagonale la cui cella fondamentale sia un esagono regolare e le curve ottenute come immagini di circonferenze potrebbero essere confuse con delle circonferenze. Una immediata verifica grafica ottenuta ingrandendo l'immagine nel caso \(p=2,q=4\) mostra comunque che queste ipotesi non si verificano (fig. 2.39).

La figura 2.39 così come tutte le precedenti, mostra invece un reticolo costituito indubbiamente da esagoni che comunque non sono regolari: difatti il triangolo evidenziato in figura 2.39 non è equilatero in quanto le misure dei suoi lati riportate nello specchietto successivo \eqref{eq:2.70} mostrano che \(AB\not=BC\) mentre, in questo caso, \(BC=CA\). Se comunque agli interi \(p\) e \(q\) assegniamo valori sempre maggiori osserviamo che (fig. 2.40)

• le curve immagini si avvicinano a delle circonferenze e
• la cella fondamentale del reticolo tende ad assumere la forma di un esagono regolare.

A conferma numerica di ciò riportiamo le lunghezze dei lati per i tre esempi proposti nelle figure aggiungendone altri due con valori sempre maggiori di \(p\) e \(q\) \[ \eqalign{p=2,&q=4\quad &AB=2.12255,\,&BC=1.89571,\,&CA=1.89571,\,&r=0.786151\cr p=16,&q=21\quad& AB=0.332084,\,&BC=0.330773,\,&CA=0.331502,\,&r=0.164594\cr p=16,&q=100\quad& AB=0.0675449,\, &BC=0.0675417,\,&CA=0.0675341,\,&r=0.0337605\cr p=107,&q=600\quad& AB=0.0113354,\, &BC=0.0113354,\,&CA=0.0113353,\,&r=0.00566764\cr p=2000,&q=2400\quad& AB=0.00282123,\,&BC=0.00282123,\,&CA=0.00282123,\,&r=0.00141062.}\tag{2.70}\label{eq:2.70} \] Osserviamo inoltre come all'aumentare degli interi \(p,q\) il raggio \(r\) gradualmente diminuisca.
Formalizziamo queste osservazioni determinando la curva descritta al variare dell'angolo \(\theta\) nella equazione \eqref{eq:2.67} e riprodotta nelle precedenti immagini, soffermandoci in particolare nella curva di figura 2.39. Sfruttando comunque la evidente periodicità della configurazione che si dimostra utilizzando le proprietà \eqref{eq:2.60} del logaritmo, possiamo limitarci allo studio dell'espressione \eqref{eq:2.67} e associata agli indici nulli \[ D_{0,0}\colon\, z=\log\Bigl[1+r\exp(I\theta)\Bigr]=\log\Bigl[1+r\cos(\theta)+I\, r\sin(\theta)\Bigr].\tag{2.71}\label{eq:2.71} \] Esplicitando il logaritmo complesso a partire dalla sua definizione \eqref{eq:2.59} e considerando come il suo argomento sia dato dalla \eqref{eq:2.53bis} quest'ultima diviene \[ \eqalign{z&=\log\biggl[\sqrt{\bigl(1+r\cos(\theta)\bigr)^2+\bigl(r\sin(\theta)\bigr)^2}\biggr]+I\arctan\biggl[{r\sin(\theta)\over 1+r\cos(\theta)}\biggr]\cr &=\log\Bigl[\sqrt{1+r^2+2r\cos(\theta)}\Bigr]+I\arctan\biggl[{r\sin(\theta)\over 1+r\cos(\theta)}\biggr]\cr &={1\over 2}\log\Bigl[1+r^2+2r\cos(\theta)\Bigr]+I\arctan\biggl[{r\sin(\theta)\over 1+r\cos(\theta)}\biggr]\cr }\tag{2.72}\label{eq:2.72} \] che, in forma parametrica possiamo riscrivere come \[ D_{0,0}\colon\,\cases{x(\theta)=\displaystyle{1\over 2}\log\Bigl[1+r^2+2r\cos(\theta)\Bigr]\cr\\[-4pt] y(\theta)=\displaystyle{\arctan\biggl[{r\sin(\theta)\over 1+r\cos(\theta)}\biggr].}\cr}\tag{2.73}\label{eq:2.73} \] Nella figura 2.41 riportiamo il grafico che ne deriva evidenziando i suoi punti principali e gli assi.

Le coordinate di questi punti sono \[ A\Bigl(\log(1-r),0\Bigr),\qquad B\Bigl(\log(1+r),0\Bigr),\qquad M\biggl({1\over 2}\log(1-r^2),0\biggr),\qquad C\biggl({1\over 2}\log(1-r^2),\arcsin(r)\biggr) \] e di conseguenza determiniamo pure le lunghezze dei semiassi, rispettivamente maggiore e minore \[ \eqalign{AM&=MB={x_B-x_A\over 2}={\log(1+r)-\log({1-r})\over 2}={1\over 2}\log\biggl({1+r\over 1-r}\biggr),\cr MC&=y_C-y_M=\arcsin(r).\cr}\tag{2.74}\label{eq:2.74} \] Data l'apparenza grafica che richiama una ellisse, studiamo le eventuali simmetrie di questo grafico e, a tale scopo, sfruttiamo la rappresentazione implicita della curva \(D_{0,0}\). Come mostrato nel riquadro 3 questa si riduce all'equazione \[ D_{0,0}\colon\, F(x,y)=0\quad\Longrightarrow\quad D_{0,0}\colon\,\exp(2x)-2\exp(x)\cos(y)+1-r^2=0.\tag{2.75}\label{eq:2.75} \] Il punto caratterizzato dalla coppia \((x,-y)\) è il simmetrico di \((x,y)\) rispetto all'asse \(x\) e, per la presenza del solo coseno, questa coppia è ancora soluzione della equazione \eqref{eq:2.75} cioè \(F(x,-y)=0\). Il grafico di \(D_{0,0}\) è allora simmetrico rispetto all'asse \(x\).
Allo stesso modo, considerando la simmetria assiale avente come asse la retta passante per \(M\) e \(C\) (fig. 2.41) e definita la coppia \((x',y)\) con \[ x'=2x_M-x=\log(1-r^2)-x, \] per cui, osservato che \[ \eqalign{\exp(2x)&=\exp\bigl[2\log\bigl(1-r^2\bigr)-2x\bigr]=\exp(-2x)\bigl(1-r^2\bigr)^2\cr \exp(x)&=\exp\bigl[\log\bigl(1-r^2\bigr)-x\bigr]=\exp(-x)\bigl(1-r^2\bigr),\cr} \] troviamo, ponendo a fattore il termine \(\exp(-2x)\bigl(1-r^2\bigr)\), l'espressione \[ F\bigl(\log(1-r^2)-x,y\bigr)=\exp(-2x)\bigl(1-r^2\bigr)\bigl[\exp(2x-2\exp(x)\cos(y)+1-r^2)\bigr] \] e questa, per la \eqref{eq:2.75}, risulta ancora \(F(\log(1-r^2)-x,y)=0\). Come conseguenza di quest'altra simmetria la curva è pure simmetrica centralmente con centro in \(M\) e quindi induce al sospetto che possa essere ricondotta all'ellisse traslata \(\gamma\) avente lo stesso centro e semiassi. Questa ha equazione \[ \gamma\colon\,{(x-x_M)^2\over MB^2}+{y^2\over MC^2}=1\qquad\Longrightarrow\qquad \gamma\colon\,{\biggl[x-\displaystyle{1\over 2}\log\Bigl({1-r^2}\Bigr)\biggr]^2\over \displaystyle{1\over 4}\biggl[\log\biggl({1+r\over 1-r}\biggr)\biggr]^2}+{y^2\over \bigl[\arcsin(r)\big]^2}=1. \] e il riportare il suo grafico nella figura 2.41 non risolve il sospetto in quanto nella scala di figura appaiono indistinguibili. Comunque uno studio numerico più preciso e riportato in fig. 2.42 mostra significative differenze, \(\Delta y = y(t)-y_\gamma\), tra le ordinate positive delle coppie di punti con ascisse comprese nell'intervallo \(x_A≤x≤x_B\): escludiamo pertanto che il grafico di \(D_{0,0}\) sia un'ellisse.

Ciò nonostante, se studiamo i limiti dei due semiassi e dell'ascissa del punto \(M\) al tendere allo zero di \(r\) otteniamo i risultati seguenti \[ \lim_{r\to 0}MB=\lim_{r\to 0}\,\biggl[{1\over 2}\log\biggl({1+r\over 1-r}\biggr)\biggr]=0,\qquad \lim_{r\to 0}MC=\lim_{r\to 0}\, \Bigl[\arcsin(r)\Bigr]=0,\qquad \lim_{r\to 0}x_M=\lim_{r\to 0}\,\biggl[{1\over 2}\log(1-r^2)\biggr]=0, \] valori che, assieme al seguente limite del rapporto tra semiassi \[ \lim_{r\to 0}{MB\over MC}=\lim_{r\to 0}\,{{\log\biggl(\displaystyle{1+r\over 1-r}\biggr)}\over 2\arcsin(r)}=1, \] confermano come la curva rappresentativa di \(D_{0,0}\) si avvicini per \(r\to 0\) ad una circonferenza e il suo centro di simmetria tenda all'origine \(O\) (il limite si risolve facilmente con il teorema di De L'Hôpital).

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Web

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Appendice