Ritorna alla pagina di presentazione

Angoli orientati e definizione delle funzioni goniometriche

Lorenzo Roi

Copyright 2006 www.lorenzoroi.net

Presentazione

In questo notebook intendiamo dapprima introdurre la misura di un angolo orientato estendendola all'insieme dei reali e successivamente definiamo le funzioni goniometriche del seno, coseno e tangente studiandone i grafici e le periodicità.

Funzioni e comandi utilizzati

Le istruzioni seguenti vanno caricate prima di procedere al calcolo delle celle di input di questo notebook.

Estensione delle ampiezze di un angolo

La misura dell'ampiezza di un angolo è comunemente espressa da un numero reale compreso nell'intervallo se espresso in radianti oppure, se intesa in gradi, la misura appartiene all'intervallo . Come per i segmenti anche per gli angoli è comunque possibile introdurre una orientazione o verso e quindi assegnare valori positivi o negativi all'ampiezza corrispondente.
Identificato quindi un lato dell'angolo (che è una semiretta) con il semiasse positivo delle di un sistema cartesiano isometrico di origine , potremo assegnare un verso all'angolo appena sia dato il secondo lato. Difatti, partendo dal semiasse positivo e muovendoci in verso antiorario fino ad incontrare l'altro lato, introduciamo la convenzione che associa all'ampiezza di quest'angolo un valore positivo. Se invece, sempre a partire dal semiasse positivo ci muoviamo in verso orario fino ad incontrare il secondo lato, l'ampiezza corrispondente dell'angolo in tal modo individuato verrà espressa da un valore negativo. Allora, per esempio, il seguente angolo è positivo

Istruzioni grafiche

Grafico

mentre quello rappresentato in fig. 2 è identificato da una misura dell'ampiezza di segno negativo: in termini geometrici tradizionali (cioè con ampiezze appartenenti agli intervalli ricordati sopra) la loro somma fornisce invece l'angolo giro cioè un'ampiezza di oppure .

Istruzioni grafiche

Grafico

Come si vede, possiamo quindi individuare i due angoli nei quali viene suddiviso il piano, il primo (convesso in questo esempio) con una misura positiva, il secondo (nell'esempio, concavo) con una misura negativa. Poiché è possibile che il secondo lato dell'angolo ripassi più volte sul semiasse positivo delle ascisse ossia per il lato origine cioè "ruoti" attorno all'origine del sistema cartesiano, conveniamo di tener conto di tale eventualità nell'esprimere la misura dell'angolo in tal modo percorso. L'ampiezza dell'angolo potrà pertanto assumere qualsiasi valore positivo così come qualsiasi valore negativo. Difatti, ad ogni giro completo del secondo lato attorno all'origine l'ampiezza dovrà aumentare di un valore pari a (o ). L'animazione successiva mostra appunto come si debbano considerare angoli la cui misura sia maggiore di   

Istruzioni grafiche

Animazione

o minore di .

Istruzioni grafiche

Animazione

In definitiva, la convenzione appena introdotta ci permette di associare ad un qualsiasi numero reale α un angolo orientato ossia un angolo con lato origine sul semiasse positivo delle di un sistema cartesiano e la cui ampiezza è espressa da un valore positivo o negativo a seconda che si debba ruotare in verso antiorario o orario per raggiungere il secondo lato ruotando, se necessario, anche più volte attorno all'origine. In termini un po' più formali abbiamo stabilito la funzione

Se al sistema cartesiano associamo pure una circonferenza di raggio qualsiasi dato e di centro nell'origine, il secondo lato determina un punto (ed uno solo) di intersezione con cosicché in corrispondenza di un valore reale di esiste un solo . La corrispondenza qualitativa precedente si specifica quindi in

È immediato notare che tale funzione non può essere iniettiva: difatti è sufficiente riprendere il primo esempio (fig.1 e fig. 2) per vedere come al medesimo punto (nelle figure evidenziato dal cerchietto nero) si possano associare già due valori distinti di . Difatti in generale, se individua un determinato angolo e quindi un punto , viceversa questo stesso punto può essere individuato dall'insieme (numerabile) di valori con : ciascuno di questi valori differisce da per un multiplo (positivo o negativo) di , multiplo che descrive il numero di rotazioni complete attorno all'origine necessarie per "raggiungere" a partire dallo stesso .

Definizione della funzione seno di un angolo

Ad un sistema cartesiano isometrico associamo quindi una circonferenza di raggio assegnato e sia l'ampiezza di un angolo qualsiasi (nelle figure verrà considerato : in tal caso la circonferenza viene identificata come la circonferenza goniometrica). Come detto, il secondo lato di tale angolo individua un punto su : sia la proiezione sull'asse delle di , quella sull'asse delle .
Definiamo seno dell'angolo il valore del rapporto

Definizione del seno di un angolo α

dove (fig. 3) rappresenta la misura del segmento orientato di estremi e ed è pari all'ordinata del punto (o anche alla componente del vettore sull'asse ): rappresenta quindi un valore che appartiene all'intervallo . è invece la lunghezza del segmento di estremi e oppure il modulo del vettore (oppure, come detto, il raggio della circonferenza cui appartiene il punto ). è espresso pertanto da un numero positivo () ed al variare di su rimane costante.

Istruzioni grafiche

Grafico

Variazione della funzione seno

Per come abbiamo esteso l'insieme delle ampiezze di un angolo riusciamo ad associare ad ogni valore reale un punto sulla circonferenza e quindi siamo pure in grado di calcolare il rapporto tra e ossia il valore di . In tal modo disponiamo di una funzione che associa ad ogni reale il valore .

Ci chiediamo ora quale siano le caratteristiche di tale funzione, in particolare il suo grafico e il suo codominio. Faremo pertanto variare su un insieme di valori reali analizzando, dapprima qualitativamente, le variazioni del segmento orientato e del suo rapporto con .

Istruzioni grafiche

Animazione

L'animazione ci fa comprendere come all'aumentare di da al valore di il seno aumenti raggiungendo il suo valore massimo, , in corrispondenza di . Per valori maggiori diminuisce passando per il valore nullo quando e assumendo valori negativi per . Infine raggiunto il valore minimo , la funzione ricomincia poi a crescere fino . Il codominio appare quindi essere l'intervallo .

Grafico della funzione seno e periodicità

Per visualizzare un grafico della funzione seno al variare di è comunque necessario un approccio più preciso. Riporteremo quindi i valori dell'angolo sull'asse della variabile indipendente di un sistema cartesiano e, in corrispondenza, associamo all'ordinata il valore di . Per facilitare il riconoscimento del legame tra angolo e valore dell'ascissa riportiamo entrambi con lo stesso colore (blu) mentre per mostrare che l'ordinata è effettivamente il valore del seno corrispondente tracciamo la circonferenza goniometrica (quindi e ) traslata di una unità nel verso delle ascisse negative per non interferire con il grafico. Abbiamo pertanto

Istruzioni grafiche

Animazione

Il grafico emerge ora con immediatezza e ci permette di riconoscere con facilità gli intervalli dove è crescente e dove invece risulta decrescente . Appaiono confermati pure i valori dell'angolo in corrispondenza dei quali il seno assume i valori massimo, , e minimo così come il codominio .

Possiamo infine dedurre un'altra importante proprietà della funzione seno e del suo grafico. Se estendiamo a valori maggiori di la configurazione geometrica del triangolo (fig. 3) rimane inalterata e ciò evidentemente a seguito del modo con cui abbiamo esteso il dominio degli angoli. Di conseguenza la funzione riprende gli stessi valori ma in corrispondenza di angoli diversi che differiscono dai precedenti per multipli di . L'animazione seguente mostra quanto avviene per angoli nell'intervallo .

Istruzioni grafiche

Animazione

Funzioni con tale proprietà ossia tali da assumere i medesimi valori in corrispondenza di valori della variabile indipendente che differiscano per un certo valore o suoi multipli interi, nel nostro caso , verranno dette funzioni periodiche di periodo T. Per queste la definizione generale che si dà è

La funzione f è periodica con periodo T se e solo se

Istruzioni grafiche

Grafico

La figura 4 mette in evidenza che, pur essendo ecc. le uguaglianze

sono, per la funzione seno, certamente vere. Pertanto in generale, vale l'identità

e possiamo concludere che la funzione seno rientra nella definizione data sopra ed è quindi periodica con periodicità .

Definizione della funzione coseno di un angolo

Per quanto visto circa la funzione seno, la definizione della seconda funzione goniometrica fondamentale cioè del coseno di un angolo, discende abbastanza naturale. Si pone pertanto

Definizione del coseno di un angolo α

essendo il segmento orientato (o componente "orizzontale" del vettore ) che individua l'ascissa di nella circonferenza di centro e raggio (fig. 5).

Istruzioni grafiche

Grafico

Variazione del coseno

Un'analisi qualitativa dell'andamento della funzione per   basata sull'animazione seguente

permette di individuare già alcune interessanti caratteristiche.

Istruzioni grafiche

Animazione

Riconosciamo difatti che tale funzione risulta positiva quando e in particolare assume il valore in corrispondenza di mentre vale quando . Questi rappresentano pure il valore massimo e, rispettivamente, minimo del codominio che pertanto è l'intervallo . Appare inoltre decrescente in e crescente in mentre risulta .

Grafico della funzione coseno e periodicità

Per ottenere il grafico del coseno procediamo nello stesso modo seguito per il seno: trasliamo (ma solo a livello grafico) la circonferenza goniometrica di un'unità negativa sull'asse orizzontale onde non interferire con lo sviluppo del grafico e codifichiamo con lo stesso colore (blu) l'angolo percorso attorno all'origine e l'ascissa del punto (mobile) sul grafico del coseno. Poiché la definizione si riduce a cioè il coseno risulta pari all'ascissa del punto (di color nero) sulla circonferenza goniometrica e individuato dal secondo lato dell'angolo. Dato che intendiamo riportare in ordinata tale valore, eseguiamo una simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, simmetria rappresentata nell'animazione seguente dal segmento tratteggiato: in tal modo il punto di color verde possiede ordinata pari a . Con tale costruzione il punto mobile che descrive il grafico ha coordinate : ne studiamo l'andamento per .

Istruzioni grafiche

Animazione

Per angoli esterni all'intervallo la configurazione geometrica appena studiata si ripete inalterata suggerendo la periodicità pure della funzione coseno.

Istruzioni grafiche

Animazione

Valgono di conseguenza le seguenti identità (fig. 6)

Istruzioni grafiche

Grafico

che sono casi particolari della più generale identità

che codifica la periodicità della funzione coseno con periodo .

Definizione della funzione tangente di un angolo e periodicità

Sempre in riferimento alla circonferenza associata ad un sistema cartesiano di origine (fig. 7), definiamo la tangente di un angolo come il rapporto

Definizione della tangente di un angolo

dove entrambi i segmenti coinvolti vanno interpretati come segmenti orientati ossia come le componenti del vettore .

Istruzioni grafiche

Grafico

Da tale definizione discende immediatamente che la tangente non è definita quando : i valori di che individuano le posizioni del punto con ascissa nulla sono: che si possono riassumere in . Pertanto il dominio della funzione tangente è l'insieme

Poiché inoltre si può dividere numeratore e denominatore del secondo membro della definizione per , la tangente si può riscrivere identicamente come

non appena si siano tenute presenti le definizioni di e . Ne segue che risulta pure definita dal rapporto del seno e del coseno del medesimo angolo.

Periodicità

Una seconda importante proprietà discende sempre dalla definizione. Per dimostrarla analizziamo la configurazione geometrica che si presenta quando si considerino angoli che differiscono per : per esempio, in figura 8 , all'angolo (in rosso) si associ l'angolo (in verde).

Istruzioni grafiche

Grafico

È evidente che i triangoli rettangoli e sono congruenti () ma che e . Pertanto la tangente dell'angolo che, per definizione, è

si può riscrivere come

Poiché tale relazione rimane valida qualsiasi sia l'angolo potremo studiare la funzione tangente per valori appartenenti all'intervallo aperto e poi estenderla, in base ad essa, in . Ma più importante appaiono due osservazioni:

la prima consiste nel tener conto che ad e agli angoli che differiscono da esso per multipli pari di , , si può associare la medesima configurazione (e ciò, come oramai sappiamo, equivale a rotazioni complete attorno all'origine) per cui, di conseguenza, risulta .

Seconda osservazione: a si possono associare i valori tali da differire da per multipli dispari di (difatti è un numero dispari se ) e pure questi, per quanto dimostrato sopra, conducono ad una configurazione geometrica che fornisce lo stesso valore della tangente.

In definitiva qualsiasi sia il multiplo di (pari o dispari) che lega con , risulta valida l'identità   

Quest'ultima indentità stabilisce la periodicità della funzione tangente che pertanto, diversamente dal seno e coseno, possiede un periodo .

Grafico della funzione tangente

Per lo studio del grafico della tangente in funzione di manca ancora un elemento che ci permetterà di disporre di un significato più intuitivo e diretto del rapporto dato nella definizione. Costruiamo a tale scopo la retta tangente nel punto alla circonferenza goniometrica (fig. 9) e prolunghiamo il secondo lato dell'angolo fino ad intersecare questa retta. Sia il loro punto di intersezione.

Istruzioni grafiche

Grafico

Data la similitudine tra e il fatto che e siano concordi come e , risulta

dove si è considerato che nella circonferenza goniometrica . Possiamo pertanto reinterpretare la come la lunghezza del segmento orientato oppure anche come l'ordinata del punto (oppure come la componente "verticale" del vettore ). È ora immediato rappresentarci qualitativamente la variazione della tangente in funzione dell'angolo: a partire da (dove non è definita) all'aumentare di aumenta pure la tangente che risulta un valore negativo per . È poi e quindi la funzione assume valori positivi sempre maggiori quando , aumentando, si avvicina a .

Istruzioni grafiche

Animazione

Sfruttando l'interpretazione precedente possiamo ottenere un grafico più preciso non appena si disponga in ascissa l'angolo in modo del tutto analogo a quanto fatto per le funzioni seno e coseno. In ordinata poniamo quindi cioè, geometricamente, riportiamo il segmento orientato . Per riconoscere più facilmente tale costruzione riportiamo in colore verde il punto della precedente discussione e, in tratteggio, la retta tangente in alla circonferenza goniometrica.

Istruzioni grafiche

Animazione

Appare quindi che il grafico della tangente tra è sempre crescente e possiede due asintoti verticali dati dalle rette . Osserviamo inoltre che, se si avvicina a assumendo valori sempre inferiori di tale valore (o anche "da sinistra"), la tangente assume valori positivi sempre maggiori: esprimiamo tale andamento con la scrittura informale

Allo stesso modo se si avvicina a essendo sempre maggiore di tale valore (o "da destra"), la tangente assume valori negativi sempre minori: informalmente esprimiamo ancora ciò con la scrittura

In base allo studio del grafico emerge pure il codominio di tale funzione: dato che il punto (di color verde) può assumere qualsiasi posizione sulla retta tratteggiata, in corrispondenza la sua ordinata (cioè ) può assumere qualsiasi valore reale. Il codominio della funzione tangente coincide pertanto con .
Visualizziamo infine il grafico della tangente in insiemi più estesi di così da rendere evidente la sua (già dimostrata) periodicità. Si tenga presente che in corrispondenza dei valori la funzione tangente non esiste (nella animazione seguente pertanto, gli asintoti non appartengono al grafico della tangente).

Istruzioni grafiche

Animazione

Ritorna all'inizio pagina