Esplorazioni nel campo della geometria frattale


Fig. 1. Una felce "frattale"

Prendete una comune calcolatrice tascabile e quindi,

  • dopo averlo annotato a parte, immettete un numero qualsiasi.
  • Premere ora più volte il tasto di radice quadrata. Dopo un po' cosa succede?
  • Il risultato di diverse estrazioni di radice annotatelo ancora di fianco al numero che avevate immesso inizialmente.

Ripetete il processo per varie scelte del numero di partenza (maggiori e minori di uno) e cercate di trarre qualche conclusione. La conclusione? È troppo facile e intuitiva...

Bene! Avete appena realizzato un'iterazione della funzione radice quadrata. La matematica dei sistemi dinamici dice che il valore verso cui converge questo strano processo che usa il risultato dell'operazione precedente per il calcolo successivo, è l'attrattore per la funzione radice quadrata. L'attrattore è pertanto il numero 1 e, siccome ciò succede per ogni valore reale positivo (escluso lo zero), si dice anche che il bacino di attrazione dell'attrattore della funzione radice quadrata è l'insieme dei reali positivi. E lo zero? Cos'è? E uno?

Ora provate con delle funzioni un po' più divertenti ma ancora presenti nelle comuni calcolatrici scientifiche:

Non è necessario che ne conosciate il significato: basta seguire il processo indicato all'inizio e annotarvi il comportamento. In particolare cosa succede al variare del numero (arbitrario) iniziale? Qual'è l'andamento tendenziale all'aumentare del numero di iterazioni? Riconoscete gli attrattori?

La risposta, ancora una volta è abbastanza facile e intuitiva per le prime due ma già per il coseno diventa un po' strana... Va comunque ancora notato che il risultato non dipende dal valore arbitrario iniziale.
Infine provate (se avete ancora un po' di pazienza) con la funzione y=x2+a innanzitutto con a=-1,1 e poi con a=-2. Vista l'indipendenza dal valore iniziale, partite con x=0 nel primo caso e x=0,1 nel secondo.

Se poi avete a disposizione un foglio elettronico, tutti i calcoli sopra si possono ottenere in modo immediato e gli andamenti si possono facilmente visualizzare in un grafico. È sufficiente disporre una colonna, diciamo di 100 celle (o più), contenenti i numeri da 1 a 100.

Fig. 2. Foglio di calcolo sulle iterazioni

Sulla cella corrispondente alla prima iterazione (a fianco di quella che contiene 1, B3 nella figura a fianco) immettere la formula che fa riferimento alla cella che contiene il valore iniziale (lo zero in C4) e al parametro (in C2). Poi nella seconda iterazione la formula farà riferimento (di tipo relativo) al risultato precedente e al valore, eventuale, del parametro a (che dev'essere di tipo assoluto) e quindi copiate questa per tutte le rimanenti 98 celle. Mettere infine in X l'ordine dell'iterazione e in Y il risultato ottenuto: si ottiene così l'andamento delle "orbite" del sistema. Buon divertimento!

Fig. 3. Prime "orbite del sistema" y=x2+a

Tutti gli andamenti studiati sopra possono essere visti come semplici esempi di sistemi dinamici cioè di sistemi che evolvono nel tempo. Chiaramente per alcuni di essi risulta molto semplice prevedere l'evoluzione (la radice, il quadrato, la funzione seno) e ciò indipendentemente dal valore iniziale, per altri un po' meno (la funzione coseno), per altri ancora (y=x2-2), pur avendo una struttura matematica molto semplice, è praticamente impossibile! (vedi il diagramma di fig. 4, relativo a x(iniziale) = 0,1 e a = -2)

Fig. 4. Diagramma delle "orbite"

Sorge quindi la domanda fondamentale: siamo in grado di prevedere il comportamento di un sistema, descritto da una funzione, all'aumentare delle iterazioni, cioè al trascorrere del tempo? È possibile prevedere cosa accadrà quando iteriamo una funzione? La risposta è per alcune funzioni evidentemente affermativa ma già con semplici espressioni ci accorgiamo che l'evoluzione del sistema si fa imprevedibile: il sistema descritto diventa, almeno su un certo insieme di punti, un sistema caotico! Il caos compare pertanto già in sistemi molto semplici: pensate un po' cosa vuol dire cercare di descrivere sistemi come l'atmosfera terrestre o l'andamento dell'economia mondiale: quante variabili e quante relazioni tra esse! E se poi, creato il modello, questo si mostra sensibile ad un insieme di valori e diventa caotico?

Comprendiamo allora che, dato un particolare sistema dinamico, diventa importante individuare l'insieme dei valori che portano a un suo andamento imprevedibile o caotico: in termini tecnici ci si chiede se è possibile determinare il cosiddetto insieme di Julia di quel sistema.

E qui arrivano altre sorprese! Per analizzare la "dinamica" di tali (semplici?!) sistemi conviene introdurre una loro rappresentazione grafica. Allora, con i dati finora accumulati per il sistema basato sulla funzione y=x2+a, potremo pensare di iniziare la costruzione di un grafico dove, in ascissa disponiamo i valori del parametro a (finora abbiamo sperimentato con a = -1,1, a = -2 ma, consiglio di provare anche con altri come quelli tra -2 e 0,25, per esempio a = -0,2,...) mentre in ordinata riportiamo i valori degli attrattori corrispondenti (0,091607978 e -1,091607978 per a = -1,1, -0,170820369 per a = -0,2, qualsiasi valore tra -2 e 2 per a = -2 (fig. 5).

Fig. 5. Costruzione del diagramma di Feigenbaum

La figura seguente, ottenuta con un semplice programma Pascal rappresenta il diagramma completo e costruito come spiegato sopra: questo descrive l'evoluzione per le iterazioni della funzione y=x2+a al variare del parametro a tra i valori 0,25 e -2.

Fig. 6. Diagramma di Feigenbaum

La figura va interpretata in questo modo: se a è approssimativamente compreso tra -0,75 e 0,25 l'attrattore è unico e varia, a seconda di a, da 0,4 a -0,6 (per a=-0.2 l'attrattore vale -0,170820369). Se poi a è inferiore a -0,76 gli attrattori diventano due (se avete provato con y=x2-1,1 vi dovreste essere già accorti di ciò), e poi 4 e poi 8... Dove invece il diagramma (che si chiama diagramma di Feigenbaum) non mostra linee ben definite, lì la dinamica diventa caotica cioè le iterazioni non convergono a nessun valore (o a nessun insieme di due o più valori). Difatti per a=-2 (un altro valore proposto dall'inizio!) le iterazioni che si ottengono forniscono valori che oscillano caoticamente tra -2 e 2. In sostanza il diagramma di Feigenbaum mostra come un semplice sistema dinamico passi gradualmente dall'ordine (presenza di uno o più attrattori) al caos.

Si potrebbe anche pensare che il sistema passi gradualmente dall'ordine al caos con biforcazioni che fanno passare da un attrattore, poi a due e quindi quattro, otto, ecc. o, come si dice, con periodi di ciclo 1, 2, 4, 8 ecc. Un'esplorazione più attenta del diagramma porta però a scoprire l'esistenza di periodi di ordine 3, 5,... Difatti per mezzo del programma allegato, un'analisi nella finestra compresa tra i valori del parametro a tali che -1,8<a<-1,73 e con l'ordinata è tra -2 e 2 fornisce il diagramma di figura 7: quest'ultimo mostra chiaramente l'esistenza di un ciclo 3 (e cioè di 3 attrattori tra -1,77 e -1,75).

Fig. 7. Diagramma di Feigenbaum con ciclo di 3 attrattori

Il bello è che se si va ingrandire (circa 90 volte in verticale) un particolare molto piccolo della figura compreso tra [-1,79;-1.76] in orizzontale, e [-1,79;-1.746] in verticale, si ottiene la figura 8.

Fig. 8. Ingrandimento di un particolare del diagramma di Feigenbaum

Osservate prima gli estremi dell'asse x e dell'asse y e poi la figura nel suo complesso. Cosa si nota? È nient'altro che una copia miniaturizzata del diagramma di partenza!

Ma le sorprese non sono ancora finite! Ecco un altro particolare compreso nella finestra -1,633<a<-1,626 e [-0,084; 0,1] in ordinata (nell'immagine sono riportate solo le prime due cifre decimali).

Fig. 9. Altro ingrandimento del diagramma di fig. 6

Ottenuto con un numero molto alto di iterazioni (circa 10.000) così da ridurre gli effetti transienti, mostra di essere nient'altro che l'immagine speculare di quello di fig. 8.

Infine il diagramma seguente (dati: ascissa [-1,636;-1,622], ordinata [-0,2; 0,12], num. cicli 2000) mostra come possa nascere l'ordine pure dal caos. Difatti da una situazione caotica in prossimità di a=-1,625 si sviluppa una situazione ordinata con attrattori ben definiti che via via iniziano a biforcarsi al diminuire del parametro.

Fig. 10. Dal caos all'ordine

E così siamo arrivati ai frattali, passando per i sistemi dinamici e il caos. Cos'è allora un frattale? Come proposto negli anni settanta da Benoit Mandelbrot che per primo coniò il termine facendolo derivare dal latino fractus, per frattale si intende un oggetto, più propriamente una figura geometrica, che mostra di essere auto-simile ossia un insieme che, osservato nei particolari a scala sempre più piccola, rimane simile (o quasi) all'insieme di partenza. Sostanzialmente l'aspetto di un frattale quindi non muta se ingrandito più e più volte.

Allora il diagramma di fig. 6 è un frattale e poiché rappresenta anche l'insieme di Julia del sistema y = x2+a sorge il sospetto che questi insiemi siano sempre dei frattali. La risposta è affermativa: ogni insieme di Julia di un sistema dinamico è un frattale.

E Mandelbrot? Perché è famoso? Mandelbrot si accorse che queste bizzarre costruzioni geometriche non erano, solo, delle stranezze ad uso dei matematici. Mostrò che molti oggetti comuni, come le coste, i cristalli di neve, le nuvole, le foglie, gli alberi e gli arbusti o le catene montuose sono naturalmente descritte da frattali. Le usuali costruzioni geometriche riconducibili a linee rette, curve piane e superfici non erano di molto aiuto nella comprensione e nella modellizzazione delle molteplici forme complicate che si trovano in natura mentre le figure frattali fornivano una descrizione originale ed esauriente. Nasceva così una nuova branca della matematica: la geometria frattale.

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